Competenze: saper calcolare i limiti di funzioni e di successioni numeriche, le derivate delle funzioni di una variabile reale, determinare il carattere di una serie numerica, calcolare integrali definiti e indefiniti.
Conoscenze: definizioni e teoremi fondamentali riguardanti il Calcolo Differenziale, le Serie numeriche ed il Calcolo Integrale.
Il corso è diviso in due parti. Nella prima parte si studia la costruzione dei numeri reali, le nozioni basilari di topologia, le funzioni di una variabile reale, le successioni numeriche. Nella seconda parte si studiano le serie numeriche e gli integrali delle funzioni di una variabile reale.
Buone conoscenze di base di aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza non è richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di esame.
N.B.: Gli argomenti contrassegnati con * non sono conoscenze minime.
Del materiale didattico si può trovare sul sito http://studium.unict.it/dokeos/2016/
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | SISTEMI NUMERICI | Testo 1 Cap. 1 e 2, Testo 2 cap. 2, Testo 3 cap. 1,. |
2 | LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE | Testo 1 cap. 3 e 5, Testo 2 cap. 3, Testo 3 cap. 2. |
3 | FUNZIONI CONTINUE | Testo 1 cap. 5, Testo 2 cap. 4. |
4 | CALCOLO DIFFERENZIALE | Testo 1 cap. 6 e 7, Testo 2 cap. 5, Testo 3 cap. 3. |
5 | SERIE NUMERICHE | Testo 1 cap. 4, Testo 2 cap. 6, Testo 3 cap. 4. |
6 | INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN | Testo 1 cap. 8 e 9, Testo 2 cap. 7, Testo 3 cap. 5. |
Sono previste due prove in itinere (durata 2 ore e trenta minuti ciascuna). La prima si terrà durante la prima pausa didattica, la seconda alla fine del corso. E' ammesso alla seconda chi abbia superato la prima. Qualora la seconda prova non fosse superata, lo studente potrà scegliere di ritentarla una sola volta durante la sessione estiva, al posto dello scritto finale.
La prima prova riguarda le UDE 1,2,3,4. La prova è divisa nelle parti A, B e C. La parte A consiste in cinque brevi esercizi di natura qualsiasi inerenti le quattro UDE. Nella parte B si richiedono il calcolo di un limite, una definizione, la dimostrazione di un teorema, e lo studio di una funzione. La parte C consiste di tre problemi di natura qualsiasi inerenti le quattro UDE. Per il superamento della prova è richiesto il conseguimento della sufficienza nella parte A, il corretto svolgimento della parte teorica e di un esercizio della parte B.
La seconda prova riguarda le UDE 5, 6. La prova è divisa nelle parti A, B e C. Nella parte A sono assegnati lo studio del carattere di due serie, una definizione e la dimostrazione di un teorema. Nella parte B sono assegnati il calcolo di due integrali, una definizione e la dimostrazione di un teorema.
La parte C consiste in tre quesiti di natura qualsiasi inerenti le due UDE. Per il superamento della prova è richiesto dare correttamente entrambe le definizioni, dimostrare correttamente un teorema e svolgere due esercizi di argomento diverso.
Il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove. L'orale è facoltativo.
In alternativa, o non avendo superato le prove in itinere, si sosteniene una unica prova d'esame composta da una prova scritta e una successiva prova orale. La prova scritta è divisa nelle parti A, B e C. La parte A consiste in cinque brevi esercizi di natura qualsiasi inerenti le sei UDE. Nella parte B sono assegnati uno studio di funzione, un integrale e due serie. La parte C consiste di tre problemi vari. Per il superamento dello scritto è necessario il conseguimento della sufficienza nella parte A e di un punteggio complessivo di almeno 18. La prova orale verifica le conoscenze teoriche insegnate a lezione.
Esempi di domande: Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità funzioni continue e delle funzioni monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.
Esempi di esercizi: limiti di successioni e di funzioni, studio dell'andamento di una funzione, determinazione del carattere di una serie, calcolo di integrali definiti e indefiniti.