ANALISI MATEMATICA I M - Z

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.

Lezioni frontali. Prove di autovalutazione.

Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere e operare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali.

Conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni:

xⁿ, rad[n]{x}, x^b, log_a(x), a^x, sen(x), cos(x), tan(x).

Sapere applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Conoscere le equazioni o disequazioni di semplici luoghi geometrici ( retta, semipiano, circonferenza, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Conoscere le principali formule trigonometriche.

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso, cfr. Punto 3.4 del Regolamento Didattico del CL in Ingegneria Civile e Ambientale.

1. CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI.

Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni arcsen(x), arccos(x), arctan(x). Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.

2. INSIEMI NUMERICI.

Gli insiemi numerici N, Z, Q. Proprietà dei razionali. L’insieme dei numeri reali. Insiemi separati. L'Assioma di Dedekind. Proprietà di densità nell’insieme dei numeri reali. Estremi di un insieme numerico. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione x^n=a. Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi. Valore assoluto. Equazioni e disequazioni razionali, fratte, irrazionali, con valore assoluto, logaritmiche, esponenziali e trigonometriche. Principio di induzione.

3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE.

Intervalli. Intorni. Punti di accumulazione. Teorema di Bolzano. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale.

4. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI.

Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni e sue applicazioni. Numero di Neper. Limite della funzione composta. Limiti dedotti dal numero di Neper. Legame tra limiti di funzioni e di successioni. Limiti notevoli. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti al grafico di una funzione.

5. FUNZIONI CONTINUE.

Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni monotone. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse.

6. CALCOLO DIFFERENZIALE.

Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione somma, prodotto, reciproca e quoziente. Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e sue conseguenze. Concavità, convessità e flessi. I Teoremi di De L’Hospital. Formula di Taylor. Grafici delle funzioni elementari. Studio del grafico di una funzione.

8. INTEGRALE INDEFINITO.

Primitive o antiderivate. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà di omogeneità e distributiva. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione.

7. INTEGRALE DEFINITO.

Integrale di Riemann. Condizione di integrabilità. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale di Riemann. Teorema della media. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Significato geometrico dell’integrale definito. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati e impropri.

8. SERIE NUMERICHE.

Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice e di Raabe. Serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz. Serie logaritmica.

1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw Hill

2. G. Fiorito, Analisi Matematica 1, Spazio Libri

3. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori

4. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

5. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

6. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc.

7. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

Tutte le comunicazioni ufficiali e il materiale didattico del Corso verranno pubblicati alla pagina del Corso presente sul portale Studium.

L’esame finale consiste in una prova scritta e un colloquio orale. La prova scritta è divisa in due parti: la prima parte ("precompito") consiste in un test di 4 domande a risposta chiusa mentre la seconda parte consiste in un test di 7 domande a risposta aperta. Se si risponde correttamente ad almeno due domande del precompito si sostiene nella stessa giornata un test di 7 domande a risposta aperta: le prime 4 vertono su argomenti di teoria (definizioni, esempi e/o controesempi, applicazioni e Teoremi) e le rimanti 3 sono esercizi a risposta aperta. Si accede al colloquio orale solo se si riporta una votazione di almeno 18/30 nella prima prova.

La prenotazione per un appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

http://studium.unict.it/dokeos/2018/courses/9750/document/Compiti%20anno%20in%20corso/Esempio_prova_scritta_di_Analisi_I.pdf?cidReq=9750