ISTITUZIONI DI MATEMATICHE M - Z

MAT/05 - 8 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

VALERIA ARTALE


Obiettivi formativi

Il corso ha come obiettivo sia la formazione logico-matematica di base, intesa anche come capacità di comprendere percorsi ipotetico-deduttivi, che quello di fornire strumenti applicativi di calcolo utili alla risoluzione di un problema.


Prerequisiti richiesti

Conoscenze matematiche di base fornite dalla scuola superiore. In particolare: equazioni e disequazioni algebriche; sistemi di equazioni e disequazioni; potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche. In ogni caso, tali argomenti verranno richiamati durante le ore di lezioni.



Frequenza lezioni

La frequenza non è obbligatoria, ma si suggerisce vivamente di partecipare alle lezioni.



Contenuti del corso

Fondamenti. Richiami di algebra elementare. Cenni di teoria degli insiemi. Insieme dei numeri Naturali e Principio di induzione. Insieme dei numeri Interi, Razionali e Reali. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico e relative proprietà. Intervalli. Intorno di un punto.

Elementi di algebra lineare. Matrici, definizioni, prime propiretà e operazioni. Determinante di una matrice, tecniche di calcolo e proprietà. Minore complementare e Complemento Algebrico. Rango di una matrice, tecniche di calcolo e proprietà. Matrice inversa. Sistemi lineari. Metodo di Sostituzione. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Riduzione o di Gauss. Vettori ed algebra vettoriale, dipendenza ed indipendenza lineare tra vettori, basi, prodotto scalare, vettoriali, misto e doppio prodotto vettoriale.

Elementi di geometria analitica nel piano. Sistema di Riferimento. Equazione di una retta. Parallelismo ed ortogonalità tra rette. Cenni sulle curve algebriche e classificazione delle coniche: circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.

Funzioni reali di una variabile reale. Nozione di funzione. Grafico di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Funzioni composte. Funzioni elementari: valore assoluto, funzione potenza, funzione esponenzialie, funzione logaritmica, funzione trigonometrica. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa. Limiti di funzioni. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. Teorema di Unicità del limite *. Funzioni continue. Punti di discontinuità di una funzione. Composizione di funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Criteri di continuità per le funzioni inverse e le funzioni monotone. Continuità delle funzioni elementari.

Calcolo differenziale. Derivata di una funzione. Significato geometrico. Derivabilità e continuità. Regole per il calcolo delle derivate. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Punti angolosi, cuspidi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Criteri di monotonia. Concavità, convessità e flessi. Criterio di convessità. Teorema di de l'Hopital*. Asintoti. Studio del grafico di una funzione.

Elementi di Calcolo Integrale. Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Metodi di integrazione per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Integrale definito. Proprietà degli integrali definiti. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali definiti. Calcolo delle aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza.

Equazioni Differenziali Ordinarie. Generalità e definizioni, Problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili, Equazioni omogenee. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti. Equazione di Bernoulli.

I numeri complessi. Operazioni, forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, radici nesime dei numeri complessi.



Testi di riferimento

1. P. Marcellini C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

2. P. Marcellini, C. Sbordone , Esercizi di Matematica Vol. 1 (Tomo 1, Tomo 2, Tomo 3, Tomo 4) e Vol 2. (Tomo 2), Liguori (2009).

3. M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa., Analisi Matematica 1, Zanichelli (2014)

4. A. Repaci, Vettori, Matrici applicazioni , CELID, Torino, 1995


Altro materiale didattico

Non è fornito dal docente alcun materiale aggiuntivo.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Richiami di algebra elementare 
2Elementi di algebra lineare 
3Elementi di geometria analitica nel piano 
4Funzioni reali di una variabile reale 
5Calcolo differenziale 
6Elementi di Calcolo Integrale 
7Equazioni Differenziali Ordinarie 
8I numeri complessi 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'esame prevede una prova scritta ed una prova orale. Si può accedere alla prova orale se la votazione conseguita nella prova scritta è pari o superiore a 18/30.


PROVE IN ITINERE

Non sono previste prove in itinere.


PROVE DI FINE CORSO

La modalità d'esame prevede una prova scritta e una prova orale. La prova scritta si ritiene superata se il voto conseguito è pari o superiore ai 18/30. Inoltre:

- dal 18 al 25 si può confermare il voto dello scritto senza ulteriori prove, quindi l'orale è facoltativo;

- dal 26 in su occorre comunque fare una prova orale;

- se allo scritto si consegue una votazione pari a 16 o 17 (quasi sufficiente) viene comunque data la possibilità di fare una piccola prova orale per raggiungere il 18; raggiunto il 18, si può decidere di continuare con l'orale per aumentare il voto o di confermare il 18.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Studio di funzione, classificazione di una conica, risoluzione di sistemi lineari, determinazione di equazione di rette, integrali, equazioni differenziali, numeri complessi,




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