METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA I

MAT/07 - 6 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

PAOLO FALSAPERLA
Email: falsaperla@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: DMI Blocco III, stanza MII-36
Telefono: 095 7383011
Orario ricevimento: Martedì e Giovedì ore 11-13 o su appuntamento


Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire agli studenti i concetti basilari dell'Analisi Matematica per funzioni di una variabile (quali calcolo differenziale e integrale, studio di funzioni, successioni e serie numeriche), e le tecniche di calcolo necessarie per affrontare gli esercizi. Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente capace di elaborare gli argomenti fondamentali in maniera critica, acquisendo una capacità di ragionamento che sia formativa per tutte le materie di tipo scientifico e soprattutto per quelle matematiche e ingegneristiche.


Prerequisiti richiesti

Conoscenze di base di aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.



Frequenza lezioni

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere.

La frequenza non è richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di esame.



Contenuti del corso

1. Cenni di teoria degli insiemi. Principio di induzione. Sistemi numerici. Nozione di funzione. Grafico di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Funzioni composte. Valore assoluto. Potenze. Esponenziali. Logaritmi. Funzioni trigonometriche. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico. Coefficienti binomiali, formula di Newton.

2. Definizione di successione. Successioni regolari. Unicità del limite. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Diseguaglianza di Bernoulli. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Criteri di convergenza e divergenza delle successioni. Confronto tra infiniti.

3. Limiti di funzioni. Legame con i limiti delle successioni. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità di una funzione. Composizione di funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Criteri di continuità per le funzioni inverse e le funzioni monotone. Continuità delle funzioni elementari.

4. Derivata di una funzione. Significato geometrico. Derivabilità e continuità. Regole per il calcolo delle derivate. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Punti angolosi, cuspidi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Criteri di monotonia. Concavità, convessità e l'Hôpital. Asintoti. Studio del grafico di una funzione.

5. Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Metodi di integrazione per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Integrale definito. Proprietà degli integrali definiti. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali definiti. Calcolo delle aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza.

6. Definizione di serie e di carattere di una serie. Criterio di convergenza di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie di Mengoli, geometrica e armonica. Operazioni sulle serie. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi: confronto, infinitesimi, rapporto, radice, condensazione. Serie armonica generalizzata. Convergenza assoluta. Serie con termini di segno alterno. Criterio di convergenza di Leibniz.



Testi di riferimento

1) P. Marcellini - C. Sbordone, "Analisi Matematica uno" (o anche la versione sintetica "Elementi di Analisi Matematica uno"), Liguori Editore.

2) S. Salsa - A. Squellati, "Esercizi di Analisi Matematica I", Zanichelli



Programmazione del corso

 *ArgomentiRiferimenti testi
1*Cenni di teoria degli insiemi. Principio di induzione. Sistemi numerici. Nozione di funzione. Grafico di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Funzioni composte. Valore assoluto. Potenze. Esponenziali. Logaritmi. Funzioni trigonometriche. Testo 1, cap. 1 
2*Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico. Coefficienti binomiali, formula di Newton.Testo 1, cap. 2 
3*Definizione di successione. Successioni regolari. Unicità del limite. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Testo 1, cap. 3 
4*Diseguaglianza di Bernoulli. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Criteri di convergenza e divergenza delle successioni. Confronto tra infiniti.Testo 1, cap. 3 
5*Limiti di funzioni. Legame con i limiti delle successioni. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. Testo 1, cap. 4 
6*Funzioni continue. Punti di discontinuità di una funzione. Composizione di funzioni continue.Testo 1, cap. 4 
7*Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.Testo 1, cap. 4 
8*Criteri di continuità per le funzioni inverse e le funzioni monotone. Continuità delle funzioni elementari.Testo 1, cap. 4 
9*Derivata di una funzione. Significato geometrico. Derivabilità e continuità. Regole per il calcolo delle derivate. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse.Testo 1, cap. 5 
10*Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Punti angolosi, cuspidi.Testo 1, cap. 5 
11*Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Criteri di monotonia. Concavità, convessità e l'Hôpital. Asintoti. Studio del grafico di una funzione.Testo 1, cap. 6 
12*Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Metodi di integrazione per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Testo 1, cap. 9 
13*Integrale definito. Proprietà degli integrali definiti. Teorema della media.Testo 1, cap. 8 
14*Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali definiti. Calcolo delle aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza.Testo 1, cap. 9 
15*Definizione di serie e di carattere di una serie. Criterio di convergenza di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie di Mengoli, geometrica e armonica. Operazioni sulle serie.Testo 1, cap. 11 
16*Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi: confronto, infinitesimi, rapporto, radice, condensazione. Serie armonica generalizzata. Convergenza assoluta. Serie con termini di segno alterno. Criterio di convergenza di Leibniz.Testo 1, cap. 11 
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.


Materiale didattico

Il materiale didattico aggiuntivo ai testi indicati (argomento delle singole lezioni, esercizi proposti e/o svolti, testi delle prove in itinere e di esame, tabelle e materiali vari di supporto alle esercitazioni, possibili approfondimenti su alcuni argomenti teorici già presenti nei testi) viene pubblicato o linkato sul sito del docente alla pagina specifica del corso

http://www.dmi.unict.it/~falsaperla/metana-ingcar.html



Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Per l'AA 2017-2018 la prova è composta da una prova scritta e un successivo esame orale facoltativo. La prova scritta, da svolgere in due ore e mezza, comprende domande di teoria ed esercizi.
Lo studente che raggiunge la sufficienza nella prova scritta può sostenere l'esame orale o accettare il voto conseguito.


DATE DEGLI APPELLI

Le date, aule e altre informazioni sugli esami sono pubblicate sulla pagina

http://www.dmi.unict.it/~falsaperla/metana-ingcar.html

Calendario previsto: .


PROVE IN ITINERE

Le prove in itinere sono due, la prima si solge dopo il completamento della prima parte del programma (fino allo studio di funzione), la seconda alla fine del corso, con criteri di valutazione analoghi a quelli dell'esame ordinario.


PROVE DI FINE CORSO

Non è prevista una prova di fine corso


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Carattere ed eventuale limite di una successione
Determinazione del campo di esistenza, simmetrie e periodicità di funzioni
Studio della continuità e derivabilità di una funzione
Studio del segno e degli zeri di una funzione
Calcolo degli asintoti (orizzontali, verticali o obliqui) di una funzione
Calcolo di derivate, intervalli di crescenza/decrescenza, massimi e minimi di funzioni
Calcolo di derivate, studio della concavità e convessità di una funzione
Calcolo di un integrale definito o indefinito di funzioni (es. integrale indefinito di (x^5-x+1)/(x^4+x^2) ; e^(2x+1) * cos(x) )
Studio della convergenza di una serie (es. somma di (2^n n!)/n^n ; 2^(3n)/3^(2n+1) ), eventuale calcolo della somma
Dimostrazione di un teorema (es. Dimostrare la regolarità delle successioni monotone; Dimostrare il teorema di Lagrange)
Domande che non prevedono dimostrazione (es. Elencare i tipi di discontinuità, con esempi; Dare la definizione di successione estratta, con esempi)




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