Fornire le conoscenze e gli strumenti logico-matematici di base attraverso cui poter costruire "modelli"per la risoluzione di problemi nelle scienze biologiche, chimiche e farmacologiche
Conoscenze di base di insiemistica, di algebra (polinomi e loro scomposizione, equazioni e disequazioni), di geometria analitica (rappresentazione cartesiana di punti e rette), di alcune funzioni elementari e dei loro grafici; Notazione Scientifica; Trigonometria.
Obbligatoria
Modulo 1. Elementi di Logica, Teoria degli Insiemi ed Insiemi numerici. *Definizioni di insieme; *Appartenenza; *Cardinalità. *Elementi di logica: *Proposizioni, *operatori logici e predicati. *Operazioni tra insiemi; *Identità booleane; Leggi di De Morgan.*Numeri Naturali; *numeri razionali; *numeri reali. *Intervalli, estremi superiori ed inferiori; *massimo e minimo; *Prodotti Cartesiani e loro rappresentazioni in R^2 ed R^3.
Modulo 2: Teoria delle funzioni. Definizione di *funzione, *dominio, *codominio, *immagine e grafico. *Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. *Composizione di funzioni; *funzioni inverse; *Funzioni monotone; *Massimi e minimi assoluti di funzioni. *Successioni. *Funzioni per le Scienze della Vita: funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.
Modulo 3: Limiti e Derivate. *Successioni e concetto di limite. *Intorni e punto di accumulazione di un insieme. *Limiti di una successione. *Teoremi sui limiti delle successioni.*Limiti di funzioni: definizioni e teoremi sui limiti delle funzioni. *Funzioni continue e teoremi fondamentali; funzioni discontinue. *Derivate di una funzione: Definizione e teoremi fondamentali (Lagrange, Rolle,Cauchy e De Hopital). *Grafico di una funzione. Sviluppo in serie di Taylor e Mac Laurin e formula di Eulero.
Modulo 4: Integrali ed equazioni differenziali. *Integrali. *Cenni di teoria della misura; *Definizione di integrale definito, *Teoremi sugli integrali; *Integrali indefiniti; *Integrali di funzioni elementari; Metodi di integrazione (cenni). *Equazioni differenziali. *Equazioni differenziali del primo e secondo ordine. *L’oscillatore armonico ed alcune applicazioni in biologia, chimica e farmaco-cinetica. L’equazione logistica.
(*)= Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell’esame
1. Calcolo Differenziale 1, Funzioni di una variabile reale, R.A.Adams-C.Essex, Casa Editrice Ambrosiana (2014)
2. Metodi e Modelli Matematici, S.Motta e M.A.Ragusa, CULC (2011)
3. Analisi Matematica, Vol 1, C.D.Pagani-S.Salsa, Zanichelli (Cap.1, Par.1,2)
4. Matematica per le scienze della vita, D.Benedetto-M. Degli Esposti- C. Maffei, Casa Editrice Ambrosiana (2016)
Esercizi ed appunti manoscritti. Eventuali approfondimenti saranno resi disponibili su STUDIUM
* | Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | * | Disequazioni di secondo grado, esponenziali e logaritmiche per via grafica. Funzioni inverse. | |
2 | * | Proposizioni logiche e connettivi. Predicati e quantificatori. Dimostrazioni per assurdo. | |
3 | * | Insiemi ed operazioni insiemistiche. L'uguaglianza tra insiemi e proprietà | |
4 | * | Il metodo di induzione. Relazione e suo significato insiemistico. Relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine. Funzioni. | |
5 | * | Composizione di due funzioni. Gruppi, campi e campi ordinati. Completezza e numeri reali. Intorno di un punto. | |
6 | * | Rette sul piano cartesiano e loro equazioni rappresentative. Metrica euclidea. Distanza di un punto da una retta. Successioni ed esistenza del limite. | |
7 | Successioni iterative. Successione di Fibonacci ed il numero aureo. | ||
8 | * | Unicità. del limite. Permanenza del segno e teorema inverso. Regolarità di successioni monotone. Asintoticità. | |
9 | * | Successioni a termini positivi e criterio del rapporto. Infiniti e confronto dei loro ordini. Serie di Mengoli e serie armonica. Criteri di confronto. Serie armonica generalizzata. | |
10 | * | Funzioni limitate. Massimo ed estremo superiore. Monotonia ed invertibilità di una funzione. Limite di funzione e punto di accumulazione. Punto interno, esterno, di frontiera ed isolato. | |
11 | * | Teorema del confronto ed alcuni limiti notevoli goniometrici. Operazioni sui limiti e funzioni continue definite su un intervallo. Limitatezza, esistenza di massimo e minimo e valori intermedi. | |
12 | * | Il rapporto incrementale e suo limite: derivata in un punto e derivata come funzione. Linearità della derivata e derivata di somma, prodotto, potenza e rapporto di due funzioni. Cenni sulle funzioni di due variabili e sulla differenziabilità. La retta tangente ed il piano tangente. | |
13 | * | Derivata di una funzione composta e derivata della funzione inversa di una funzione invertibile. Derivazione di alcune funzioni trascendenti. | |
14 | * | Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Polinomio e serie di Taylor e di Mac Laurin. La formula di Eulero. | |
15 | * | Numeri complessi: forma algebrica e forma goniometrica. Prodotto, potenza e rapporto di due numeri complessi. Studio del grafico di funzione: test di monotonia e punti di flesso. Ricerca di massimi, minimi ed asintoti. | |
16 | * | Primitive di una funzione ed integrali (indefiniti) immediati. Integrazione per parti. Equazioni differenziali in forma generale, normale e a variabili separabili. Integrale singolare. Il problema di Cauchy e teorema di esistenza e unicità. I modelli di Malthus e Verhulst. Equazioni differenziali lineari. Cenni sulle equazioni alle differenze. | |
17 | * | L'integrale di Cauchy-Riemann e sue proprietà. Teorema della media. La funzione integrale e sua derivata. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di aree e della media di alcune funzioni. L'equazione dell'oscillatore armonico non smorzato e ruolo dell'esponenziale ad esponente complesso. |
MODALITÀ D'ESAME
L’esame consiste in una prova scritta propedeutica ed una orale. La prova scritta è divisa in due parti. La prima parte verificherà le conoscenze degli studenti sugli argomenti richiesti come pre-requisiti; la seconda parte verificherà la capacità di sviluppare un ragionamento, utilizzando le definizioni ed i teoremi, e la capacità di calcolo.
Il tempo disponibile per la prova scritta è di 90 min. Come regola, la valutazione ricevuta nella prova scritta è valida solo per la prova orale dello stesso appello.
Non sono previste prove in itinere.
Non sono previste prove di fine corso.
A) Nella prima parte della prova scritta: esercizi sulle potenze, esercizi sulle funzioni e disequazioni irrazionali, logaritmiche, esponenziali e con valori assoluti, esercizi di goniometria eventualmente applicata ai triangoli, ai parallelogrammi, ai poligoni, alle circonferenze. Es: (3n+ 3-n)1/n =?;
B) Nella seconda parte della prova scritta: esercizi sulle successioni, sul concetto di funzione (sui domini, sulla loro eventuale iniettività e invertibilità), sul rapporto incrementale e sulla derivata. Esercizi sulla rappresentazione cartesiana di funzioni (asintoti, minimi e massimi, flessi). Esercizi sugli integrali e sul calcolo di aree. Esercizi sulle equazioni differenziali.
Es1: Scrivere il rapporto incrementale della funzione f(x)=ln(1 + ex/2 ) nel punto di ascissa x=-1. Es2: Risolvere il problema di Cauchy: y'+y/x=ex con y(2)=1.