ANALISI MATEMATICA II

MAT/05 - 15 CFU - Insegnamento annuale

Docente titolare dell'insegnamento

GIOVANNI EMMANUELE


Obiettivi formativi

Lo studente acquisirà le principali nozioni del calcolo differenziale e del calcolo integrale per le funzioni reali di più variabili reali nonchè la capacità di applicarle alla risoluzione di problemi derivanti da altre scienze, per esempio la Fisica e l'Economia.

In particolare il corso si prefigge i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente vedrà innanzitutto come concetti e risultati già noti dal corso di Analisi Matematica I possano essere estesi, con opportune modifiche quando necessario, a situazioni più generali e astratte; in questo modo si cercherà di sviluppare la capacità di astrazione del discente. Quindi si cercherà di applicare le definizioni, i risultati e le tecniche così ottenuti a casi particolari, in modo da illustrare come dal caso generale si possa passare al caso particolare, dimostrando che le astrazioni fatte non sono solo un mero esercizio teorico, ma hanno sempre notevoli ricadute pratiche che permettono di risolvere anche problemi apparentemente "lontani e differenti". Si cercherà così di stimolare nel discente lo sviluppo della capacità di astrazione rigorosa e nel contempo di sintesi critica.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà condotto a riflettere sulle nozioni considerate, in modo da riuscire ad isolare gli aspetti peculiari di un problema in vista, anche, dell'applicazione ad altre questioni che presentano analogie con il problema in esame. Si cercherà di abituare il discente a costruire modelli matematici di varie situazioni concrete ed ad applicare le nozioni studiate per un loro studio analitico. Potrà, inoltre, esercitare la capacità di utilizzare le proprie conoscenze in situazioni diverse da quelle in cui sono state acquisite: ad esempio, sarà invitato a dimostrare autonomamente dei risultati simili a quelli studiati e a svolgere numerosi esercizi di applicazione dei teoremi studiati.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà studiare degli argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e sarà invitato a ricercare ulteriori applicazioni degli argomenti svolti . Potrà inoltre confrontarsi criticamente con gli altri studenti durante le ore di tutorato per individuare le soluzioni più corrette.

Abilità comunicative (communication skills): attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura del libro di testo e di altri libri eventualmente indicati dal docente, lo studente familiarizzerà con il linguaggio matematico. Mediante le esercitazioni guidate e i seminari, apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le proprie conoscenze. Imparerà, così, che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per poter comunicare scienza.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà guidato a perfezionare il corretto metodo di studio che dovrebbe già aver appreso nei corsi del primo anno. Ciò gli permetterà di accostarsi ad un argomento nuovo riconoscendo subito quali sono i prerequisiti necessari. Continuerà a sviluppare, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.


Prerequisiti richiesti

Conoscenza non superficiale degli argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria 1



Frequenza lezioni

Fortemente consigliata



Contenuti del corso

Si studieranno i concetti e le tecniche relativi allo studio della Teoria dell'Approssimazione di funzioni con serie di potenze e serie di Fourier. Si introdurrà il concetto di spazio metrico e si studieranno approfonditamente questi nuovi spazi, in particolare studiando i concetti di limite di successioni in spazi metrici e di funzioni fra spazi metrici, di continuità e di uniforme continuità di funzioni fra spazi metrici. Si estenderanno le nozioni di calcolo differenziale ed Integrale (già introdotte nel corso di Analisi Matematica 1) alle funzioni di più variabili, fino ad arrivare allo studio delle equazioni differenziali ordinarie, all'introduzione dei concetti base della geometria differenziale delle curve e superfici ed ai principali risultati del calcolo vettoriale, interessanti di per sè ed estremamente utili nelle applicazioni ad altre scienze.

Di seguito un elenco più dettagliato degli argomenti del corso

  1. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Caratterizzazione della convergenza uniforme mediante la successione degli estremi superiori. Criterio di convergenza puntuale ed uniforme di Cauchy. Teoremi dello scambio dei limiti, di continuità, di derivabilità, di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Condizioni sufficienti per la convergenza uniforme. Serie di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta e totale. Teorema di Weierstrass. Confronto fra i vari tipi di convergenza. Teoremi di continuità, derivabilità e di integrazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema del raggio. Criteri per la determinazione del raggio di convergenza. Teorema di Abel. Proprietà della funzione somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Condizioni sufficienti per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli. Serie di Fourier. Condizioni sufficienti per la convergenza delle serie di Fourier.

  2. SPAZI METRICI.CALCOLO DIFFERENZIALE IN R^n. Spazi metrici. Intorni di punti. Insiemi aperti, chiusi ed altre nozioni topologiche. Compattezza e connessione in spazi metrici. Funzioni continue fra spazi metrici. Teoremi di Weierstrass, di Cantor-Heine, di Esistenza degli zeri e dei Valori Intermedi. Spazi euclidei. Applicazione delle precedenti nozioni e dei precedenti risultati al caso di spazi euclidei. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari. Gradiente. Funzioni dfferenziabili secondo Gateaux e secondo Frechet. Teorema del differenziale totale. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor al primo e al secondo ordine. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizioni sufficienti del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti. Funzioni definite implicitamente. Teorema di Esistenza e Teorema di Derivabilità della funzione implicita sia nel caso scalare che vettoriale. Estremi vincolati e Teorema del Moltiplicatore di Lagrange. Condizione sufficiente per la ricerca degli estremi vincolati.

  3. MISURA E INTEGRAZIONE. Teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura elementare degli intervalli e dei plurintervalli. Misura degli aperti limitati e dei chiusi limitati. Nozione di misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: numerabile additività, monotonia, continuità verso l'alto, verso il basso, sottrattività ed altre proprietà. Completezza della misura. Funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili.Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n Proprietà dell'integrale di Lebesgue e confronto con l'integrale di Riemann.Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teoremi di B.Levi e di Lebesgue. Integrazione per serie. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali. Coordinate polari nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.
  4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il problema di Cauchy. Condizione sufficiente per la lipschitzianità. Sistemi lineari. Globalità della soluzione di un sistema di equazioni lineari. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di Lagrange. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari a coefficienti costanti. Insieme delle soluzioni di un sistema, anche non omogeneo, di equazioni lineari a coefficienti costanti. Matrice esponenziale. Teorema di Putzer. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali linesari. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali non lineari: equazioni a variabili separabili, equazioni omogene, equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero.

  5. CURVE E SUPERFICI. Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari (regolari a tratti). Retta tangente e significato geometrico della differenziabilità secondo Frechet (esistenza dell'iperpiano tangente al grafico). Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè. Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi. Domini a connessione multipla e domini regolari. Formule di Gauss Green. Equazioni differenziali esatte. Superfici regolari e regolari a pezzi. Superfici orientabili. Integrali di superficie. Teoremi principali del calcolo vettoriale.



Testi di riferimento

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Foxwell and Davies Italia 2004 (chiedere al docente per la reperibilità del testo)

E' anche possibile consultare il sito internet del docente all'indirizzo http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/ per un elenco esteso di testi di esercitazioni e compiti di anni accademici precedenti

Con cadenza settimanale su Studium, alla pagina del corso, apparirà il diario giornaliero delle lezioni.


Altro materiale didattico

Eventuale ulteriore materiale didattico sarà inserito su Studium nella pagina del corso. E' anche possibile consultare il sito internet del docente all'indirizzo http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/ per un elenco esteso di testi di esercitazioni e compiti di anni accademici precedenti



Programmazione del corso

 *ArgomentiRiferimenti testi
1*Successioni e serie di funzionicap. 11 
2*Spazi metricicap.12 
3*Calcolo differenzialecap.13 e 14 
4*Calcolo integralecap. 15 e 17 
5*Teoria delle equazioni differenziali ordinariecap.16 
6*Curve e superficicap. 17 
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi (da un minimo di 4 ad un massimo di 6) che possono essere sia di natura tecnica che teorica. La prova orale tende a verificare il grado di conoscenza e di comprensione raggiunto, anche attraverso la capacità di collegare argomenti apparentemente lontani l'uno dall'altro.


PROVE IN ITINERE

Sono previste due prove in itinere, che si svolgeranno con le stesse modalità della prova d'esame completo sopra descritte. La prima prova in itinere sarà relativa agli argomenti contenuti nei cap 11, 12 e 13 del testo, spiegati a lezione. La seconda prova in itinere, riservata a coloro che hanno superato la prima prova, sarà relativa agli argomenti contenuti nei cap. 13 e 14 del testo, spiegati a lezione. Coloro che supereranno la prima prova in itinere, ma non la seconda potranno acquisire i crediti dell'intera materia sostenendo un esame in uno qualunque degli appelli della sessioni seconda e terza su tutti gli argomenti del corso spiegati a lezione con esclusione di quelli a cui si riferisce la prima prova in itinere. Coloro che supereranno la due prove in itinere potranno acquisire i crediti dell'intera materia sostenendo la prova di fine corso (si veda sotto) in uno qualunque degli appelli della sessioni seconda e terza su tutti gli argomenti del corso spiegati a lezione con esclusione di quelli a cui si riferiscono la prima e la seconda prova in itinere. I risultati delle prove in itinere superate rimarranno validi fino al completamento degli appelli della sessione terza. La parte scritta di ognuna delle prove in itinere sarà costituita da 2 o 3 esercizi che possono essere sia di natura tecnica che teorica.


PROVE DI FINE CORSO

E' riservata solo a coloro che hanno superato le due prove in itinere previste. Vi sarà una prova di fine corso in ognuno degli appelli della sessioni seconda e terza su tutti gli argomenti del corso spiegati a lezione con esclusione di quelli a cui si riferiscono la prima e la seconda prova in itinere. La parte scritta delle prova finale sarà costituita da 2 o 3 esercizi che possono essere sia di natura tecnica che teorica.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Si veda su Studium, alla pagina del corso, l'elenco delle prove scritte assegnate in precedenza. E' anche possibile consultare il sito del docente all'indirizzo http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/ per trovare altri compiti di anni accademici precedenti




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