FISICA MATEMATICA

MAT/07 - 12 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

MASSIMO TROVATO
Email: trovato@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica, Blocco III, ufficio M37, Viale A. Doria 6, 95125 Catania
Telefono: 0957383037
Orario ricevimento: Mercoledi e Venerdi dalle ore 16:30 alle ore 19


Obiettivi formativi

Il corso persegue quale obiettivo principale la trattazione teorica della meccanica classica consentendo allo studente di collegare gli argomenti del corso con i concetti appresi in Analisi Matematica I, Analisi Matematica II, Geometria I e Fisica generale I.

Con il presente corso lo studente acquisirà le conoscenze di base per :
i) lo studio dei sistemi olonomi con particolare riguardo alla cinematica ed alla dinamica dei sistemi materiali rigidi.
ii) La meccanica Analitica.

In particolare il corso avrà lo scopo di raggiungere i seguenti obiettivi:

1) Conoscenza e capacità di comprensione:
Fornire strumenti matematici quali teoremi e algoritmi che permettono di affrontare applicazioni reali in: matematica applicata, fisica, informatica, chimica, biologia, economia e altro. Lo studente con tali strumenti matematici dovrà avere nuove capacità matematiche utili a risolvere problematiche teoriche e applicative.

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Alla fine del corso si dovrà acquisire una conoscenza e una comprensione delle nuove tecniche matematiche utili per tutti i possibili collegamenti tra gli argomenti del corso e, se possibile, proporre nuove problematiche non trattate con gli studenti.

3) Autonomia di giudizio:
Il corso, basato su un metodo logico deduttivo, darà allo studente capacità autonome di giudizio per discernere metodi di dimostrazioni non corrette, inoltre lo studente, mediante un ragionamento logico, dovrà affrontare adeguate problematiche di meccanica, e più in generale di matematica applicata, cercando di risolverle con l'aiuto interattivo del docente.

4) Abilità comunicative:
Nella prova finale di esame lo studente dovrà dimostrare di aver raggiunto una adeguata maturità espositiva delle varie tecniche matematiche apprese.

5) Capacità di apprendimento:
Gli studenti devono acquisire le competenze necessarie per intraprendere studi successivi (laurea magistrale) con un alto grado di autonomia. Il corso oltre a proporre argomenti teorici presenta argomenti che potranno essere utili in vari campi lavorativi.


Prerequisiti richiesti

Conoscenze dei contenuti di : Analisi I, Geometria.I



Frequenza lezioni

La frequenza è fortemente consigliata



Contenuti del corso

Algebra vettoriale e tensoriale:
Spazi vettoriali, dimensioni e basi di uno spazio vettoriale. Spazi Pseudo-euclidei ed euclidei. Tensore metrico. Componenti covarianti e controvarianti di un vettore. Coordinate cartesiane, polari, sferiche e cilindriche. Cambiamenti di Coordinate. Coordinate curvilinee. Calcolo del prodotto scalare, del prodotto vettoriale e del prodottomisto tra due vettori. Algebra Tensoriale. Componenti Covarianti, Controvarianti e miste di un tensore. Campi vettoriali in fisica.

Cinematica:
Cinematica delle particelle. Movimento, velocità e accelerazione di un punto materiale: moto piano, moto circolare, moto armonico e moto elicoidale. Ascissa curvilinea. Sistemi di riferimenti intrinseci. Formule Frenet. Cinematica dei corpi rigidi. Formule di Poisson e velocità angolare. Analisi del campo di velocità di un corpo rigido. Diversi tipi di moti rigidi. Moti rigidi Piani. Moto di un Corpo rigido con un punto fisso. Moto di un Corpo rigido con un asse fisso. Meccanica dei corpi rigidi ed alcune applicazioni. Cinematica relativa. Composizione delle velocità, delle accelerazioni e delle velocità angolari. Equivalenza galileiana. Sistemi di riferimento inerziali e trasformazioni Galilei. Sistemi di riferimento Inerziali e non inerziali. Teorema di Coriolis. Forze fittizie. Forze di Coriolis.
Angoli di Eulero.

Dinamica:
Assiomi della dinamica classica. Statica e dinamica di una particella. Statica e dinamica di un sistema. Equazioni cardinali in statica e in dinamica. Teoremi di conservazione. Dinamica di un corpo rigido. Centri di massa e momenti di inerzia. Tensore di Inerzia, assi principali, momenti principali di inerzia. Proprietà del tensore di inerzia. Teoremi di Huygens e Steiner. Teorema di Koenig per l'energia cinetica. Energia cinetica e momento angolare di un corpo rigido. Energia potenziale. Vincoli. Vincoli olonomi e anolonomi per sistemi fisici. Coordinate generalizzate e gradi di libertà. Spazio delle configurazione. Vincoli bilaterali e unilaterali. Spostamenti reversibili e irreversibili. Vincoli ideali. Spostamenti possibili e virtuali. Principio dei lavori virtuali. Principio di d'Alembert. Lagrangiana ed equazioni di Lagrange. Campi di forza conservativi e potenziali. Conservazione dell'energia. Potenziali generalizzati ed applicazioni. Integrali del moto. Posizioni di equilibrio. Stabilità delle posizioni di equilibrio. Teorema di Lyapunov. Teorema di Dirichlet sulla Stabilità. Piccole oscillazioni intorno a punti di equilibrio stabile.

Meccanica Analitica:
Principi variazionali ed equazioni di Lagrange. Spazio delle configurazioni. Vettori tangenti e Spazio tangente. Principi variazionali e principio di Hamilton nello spazio delle configurazione. Principio di minima azione ed equazioni di Lagrange. Variabili cicliche. Problema del calcolo delle Geodetiche. Il problema della brachistocrona. Simmetrie e leggi di conservazione. Teorema di Noether. Problema dei due corpi. Spazio delle fasi. Formalismo Hamiltoniano. Trasformazioni di Legendre. Equazioni di Hamilton. Derivazione delle equazioni di Hamilton da un principio variazionale. Applicazione dei metodi Hamiltoniani a vari problemi. Trasformazioni canoniche. Funzione Generatrice di una trasformazione canonica. Applicazioni ed esempi. La teoria di Hamilton-Jacobi. Derivazione della equazioni di Hamilton-Jacobi a partire da un principio variazionale. Equazione di Hamilton-Jacobi e sue applicazioni. Metodo della separazione delle variabile per le equazioni di Hamilton-Jacobi. Parentesi di Poisson. Torema di Poisson. Applicazioni ed esempi.

Principi variazionali in teoria dei campi elettromagnetici:

Introduzione alla relatività speciale, trasformazioni di Lorentz, dilatazione dei tempi e contrazioni delle lunghezze, linee d'universo, metrica di Minkowski, nozione di 4-intervallo nello spazio-tempo, 4-scalari, 4-vettori, 4-tensori. Formulazione Lagrangiana ed equazioni di moto dedotte da principi variazionali. Variazione di un funzionale di campo. Tensore del campo Elettromagnetico. Gauge invarianza e connessione con i potenziali generalizzati. Invarianti del campo Elettromagnetico e costruzione della Lagrangiana utilizzando i teoremi di rappresentazione per funzioni scalari di Lorentz. Formulazione generale per le equazioni lineari e non lineari di Maxwell, interpretazione microscopica, verifiche sperimentali.



Testi di riferimento

1. Appunti del docente.
2. S. Rionero, Lezioni di Meccanica razionale, Liguori Editore.
3. Strumia Alberto, Meccanica razionale. Vol. 1 e Vol. 2, Ed. Nautilus Bologna (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
4. Strumia Alberto, Complementi di Meccanica Analitica (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
5. A.Fasano, V.De Rienzo, A.Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza, Bari.
6. H. Goldstein, Meccanica classica, Zanichelli, Bologna.
7. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 1: Meccanica, Editori Riuniti.
8. Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità. ( http://www.science.unitn.it/~moretti/runfismatI.pdf )
9. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 2: Teoria dei campi, Editori Riuniti.


Altro materiale didattico

http://www.dmi.unict.it/~trovato/Didattica%20Matematica.html



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Composizione delle velocit√† e delle accelerazioniApp. docente, Rionero, Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
2Cinematica relativaApp. docente, Rionero, Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
3Cinematica dei corpi rigidiApp. docente, Rionero,Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
4Angoli di EuleroApp. docente, Rionero,Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
5Equazioni cardinaliApp. docente, Rionero,Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
6Dinamica dei corpi rigidiApp. docente, Rionero,Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
7Equazioni di LagrangeApp. docente, Rionero,Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
8Potenziali generalizzatiApp. docente, Rionero,Strumia (Mecc. Raz.), Moretti 
9Principi variazionali e principio di HamiltonApp. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
10Principio della minima azione.App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
11Simmetrie e leggi di conservazione, Teorema di Noether.App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
12Problema dei due corpi.App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
13Equazioni di Hamilton.App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
14Trasformazioni canonicheApp. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
15Teoria di Hamilton-JacobiApp. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
16Parentesi di PoissonApp. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti 
17Principi variazionali in teoria dei campi elettomagneticiApp. docente, Landau-Lifsits Vol.2 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Prova scritta ed orale. In particolare il risultato della prova scritta concorrerà alla determinazione del voto finale .


PROVE IN ITINERE

Verrà svolta almeno una prova in itinere durante il corso. Essa consiste in una prova scritta corrispondente a 5 crediti. Il superamento della prova in itinere non darà luogo all’acquisizione di crediti ma, se superata,consentirà allo studente di espletare soltanto l'esame orale entro i primi due appelli (Giugno-Luglio) della II sessione di esami.


PROVE DI FINE CORSO

Esame finale :
Prova scritta ed orale. In particolare il risultato della prova scritta concorrerà alla determinazione del voto finale.

Criteri per l’attribuzione del voto:
L’apprendimento verrà valutato tramite una prova scritta finalizzata alla risoluzione di esercizi concreti di meccanica da svolgere sulla base delle conoscenze teoriche acquisite durante l’espletamento del corso. La prova scritta servirà quindi a valutare la capacità di schematizzare un fenomeno naturale e di impostare un problema utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici. La prova orale servirà altresì a valutare le capacità di apprendimento e di collegamento tra i vari argomenti del programma, verificando le capacità di ragionamento induttivo e deduttivo dello studente.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

http://www.dmi.unict.it/~trovato/Testi_compiti.pdf




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