ANALISI MATEMATICA II M - Z

MAT/05 - 9 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

GIUSEPPA RITA CIRMI
Email: cirmi@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica, 3° blocco, stanza n. 38, viale a.Doria 6
Telefono: 0957383009
Orario ricevimento: Venerdì ore 11-14. Eventuali variazioni verranno comunicate su Studium


Obiettivi formativi

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze del calcolo differenziale e integrale delle funzioni di più variabili e la teoria delle equazioni differenziali ordinarie.


Prerequisiti richiesti

Conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.



Frequenza lezioni

I requisiti di frequenza sono quelli previsti dal Regolamento Didattico del CL in Ingegneria Industriale.



Contenuti del corso

1. Successioni e Serie di Funzioni.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi di continuità, integrabilità e derivabilità . Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze. Raggio e intervallo di convergenza di una serie di potenze. Criteri di Cauchy- Hadamard e D’Alambert. Teorema di Abel.Derivazione e integrazione delle serie di potenze.Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor . Sviluppi in serie delle funzioni ex, senx, cosx, log(1+x), arctgx..

2. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI.

Richiami di topologia in Rn. Limiti di funzioni di più variabili . Continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Lemma di Schwarz. Differenziabilità. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali. Derivazione delle funzioni composte.Funzioni con gradiente nullo. Funzioni definite mediante integrali. Estremi relativi. Condizione necessaria del 1° ordine .Condizione sufficiente del 2° ordine.

3.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE .

Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in piccolo.Teorema di esistenza ed unicità globale.Risoluzione di alcune equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, omogenee. Equazioni differenziali lineari. Proprietà generali. Metodo della variazione delle costanti.Equazione di Bernoulli. Equazioni omogenee a coefficianti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare.

4.CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI.

Generalità sulle curve. Lunghezza di una curva.Integrale curvilineo di una funzione.

5.FORME DIFFERENZIALI LINEARI

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme chiuse. Forme differenziali lineari su insiemi semplicemente connessi e su insiemi stellati.

6. INTEGRALI MULTIPLI

Misura secondo Peano-Jordan in Rn. Integrale di Riemann.Condizioni per l’integrabilità.Proprietà dell’integrale di Riemann. Misura del cilindroide e degli insiemi normali. Formule di riduzione. Cambiamento di variabil. Cenni sugli integrali generalizzati. Formule di Gauss.

 

7. FUNZIONI IMPLICITE

Il Teorema del Dini per le equazioni. Teorema sulla derivazione delle funzioni implicite. Massimi e minimi condizionati. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.



Testi di riferimento

 

1. G.Fiorito, Analisi Matematica 2, Spazio Libri

2. N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica 2, Liguori

3. M.Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Esculapio

4. P.Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.2, Parte I e II, Liguori

 


Altro materiale didattico

Tutte le comunicazioni ufficiali e il materiale didattico del corso verranno pubblicati su Studium.



Programmazione del corso

 *ArgomentiRiferimenti testi
1*Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi di continuità, integrabilità e derivabilità. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze. Sviluppi in serie notevoliTesto 1 o 2 
2*Limiti di funzioni di più variabili. Continuità. Derivate parziali e direzionali. Differenziabilità. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità. Testo 1 o 2 
3*Funzioni con gradiente nullo. Estremi relativi. Condizione necessaria del 1° ordine.Condizione sufficiente del 2° ordine. Estremi vincolati.Testo 1 o 2 
4*Risoluzione di alcune equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, lineari del primo ordine, di Bernoulli,omogeneeTesto 1 
5*. Equazioni lineari di ordine n. Proprietà generali. Metodo della variazione delle costanti.Equazioni lineari a coefficienti costanti.Equazione di EuleroTesto 1 o 2 
6*Generalità sulle curve. Lunghezza di una curva.Integrale curvilineo di una funzione . Testo 1 o 2 
7* Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme chiuse. Forme differenziali lineari su insiemi semplicemente connessi Testo 1 o 2 
8*Integrale di Riemann.Condizioni per l’integrabilità. Misura del cilindroide e degli insiemi normali. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili. Testo 1 o 2 
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'esame consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Per potere essere ammesso al colloquio orale il candidato dovrà avere riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.
Accedono al colloquio orale gli studenti che superano la prova scritta.Il colloquio orale potrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. Esso sarà finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive.

 

 

La prenotazione per un appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.


PROVE IN ITINERE

Non previste.

Tuttavia, il docente, su richiesta degli studenti è disponibile ad effettuare prove in itinere riservate ai frequentanti. Qualora ciò avvenga, le regole e le modalità verranno pubblicate su Studium.


PROVE DI FINE CORSO

Nel caso in cui verrà svolta una prova in itinere, gli studenti che avranno superato tale prova potranno sostenere una prova di fine corso con regole e modalità che verranno pubblicate su Studium.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Esempi di domande frequenti

  1. Relazione tra convergenza puntuale, uniforme e totale per le serie di funzioni.
  2. Insieme di convergenza di una serie di potenze.
  3. Sviluppi in serie.
  4. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità.
  5. Estremi relativi di una funzione di più variabili,: condizioni necessaria e sufficienti.
  6. Rettificabilità e lunghezza di una curva.
  7. Forme differenziali esatte e forme differenziali chiuse.
  8. Integrale generale delle equazioni lineari omogenee.

Esempi di esercizi frequenti

  1. Determinare gli estremi relativi e assoluti di una funzione di due variabili.
  2. Determinare l’integrale generale di una equazione differenziale.
  3. Calcolare un integrale doppio o triplo.
  4. Calcolare l’integrale curvilineo di una forma differenziale.
  5. Studiare una serie di potenze.



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