ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A - E

Lo scopo del corso è quello di far acquisire agli allievi la capacità di formalizzare un problema e di sondare l’ambiente in cui cercare le eventuali soluzioni. Il corso si prefigge anche lo scopo di sollecitare la capacità di deduzione e fornire gli strumenti per affrontare e risolvere problemi su spazi vettoriali, geometria piana e geometria dello spazio.

Non sono previsti prerequisiti particolari se non quelli comuni a tutte le scuole secondarie superiori

E' fortemente auspicabile la presenza ela partecipazione assidua alle lezioni ed alle esercitazioni

I) -- Prodotto cartesiano. Relazioni binarie. Dominio e codominio. Applicazioni o funzioni. Funzioni iniettive e suriettive. Inclusione, identità. Immagini e controimmagini. Restrizioni ed estensioni. Composizione tra funzioni e sue proprietà. Funzioni invertibili e funzione inversa. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Relazioni d'ordine. Cardinalità di un insieme. Numeri: dai naturali ai complessi. Operazioni su un insieme. Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, corpi, campi. Anello degli interi relativi. Anello delle classi di resto. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo. Radici di un polinomio. Molteplicità delle radici di un polinomio. Campo dei numeri complessi. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Radici n-sime dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra*.

II) -- Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Teorema di Binet*. Primo e secondo teorema di Laplace*. Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice.

III) -- Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi: K^n,K^{m,n}, K[X]. Sottospazi.
Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz. Dimensione
di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Dimensione di una somma diretta di spazi vettoriali.

IV) -- Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker*. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei.

V) -- Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà. Il nucleo e
l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili.

VI) -- Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Molteplicità algebrica e geometrica. Indipendenza degli autospazi. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.

Geometria

I) -- I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti.

II) -- Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri.
Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo tra rette. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo tra piani. Rette complanari e rette sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci di piani. Distanze.

III) -- Cambiamenti di coordinate nel piano e nello spazio. Rotazioni e traslazioni. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili.
Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità. Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Tangenti. Fasci di coniche.

IV) -- Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Riduzione di una quadrica a forma canonica*. Classificazione affine delle quadriche. Coni e cilindri. Sfere e circonferenze nello spazio. Cerchio assoluto. Rette e piani tangenti. Punti parabolici, iperbolici ed ellittici. Ulteriore classificazione delle quadriche. Famiglie di quadriche. Luoghi geometrici.

1) Salvatore Giuffrida, Alfio Ragusa
Corso di Algebra Lineare
Ed. Il Cigno G. Galilei, Roma 1998

2) Giuseppe Paxia
Lezioni di Geometria
Spazio Libri, Catania 2000

Esercizi e prove di esame con soluzioni si trovano su STUDIUM: http://studium.unict.it

Gli esami consistono in una prova scritta ed una orale su tutti gli argomenti che fanno parte del programma e che sono stati affrontati durante le lezioni frontali. Si effetuerà una prova in itinere sulla prima parte del corso che, se superata, esenta dal sostenere quella parte nel compito d'esame finale.

Sarà effettuata una prova in itinerre su Algebra Lineare (dopo aver finito quella parte del corso) che, se superata, esenta dallo svolgere la parte di Algebra Lineare nella prova scritta di esame.

Le domande vertono su tutte le questioni teoriche ed applicative affrontate durante il corso.