ANALISI MATEMATICA II

MAT/05 - 9 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

SALVATORE LEONARDI
Email: leonardi@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica (Terzo Blcco, Ufficio 52), Viale A. Doria, 6 Catania
Telefono: 095 7383021
Orario ricevimento: http://web.dmi.unict.it/docenti/salvatore.leonardi


Obiettivi formativi

A fine corso lo studente sapra' calcolare aree di superfici, volumi di solidi, sviluppare in serie alcune funzioni notevoli e trovare soluzioni di particolari tipi di equazioni differenziali ordinarie.

Il corso prepara allo studio delle serie di Fourier ed alle trasformate di Fourier e Laplace.


Prerequisiti richiesti

Lo studente deve almeno conoscere il concetto di limite di una funzione reale di una variabile reale e saper differenziare ed integrare una funzione reale di una variabile reale.



Frequenza lezioni

Almeno il 50% di presenze per l'accesso all'esame finale.



Contenuti del corso

1. Successioni e Serie di Funzioni. Successioni di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale, convergenza uniforme. Teoremi della continuita', del passaggio al limite sotto il segno d'integrale e di derivata. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuita', di integrazione per serie e di derivazione per serie. Serie di potenze nel campo reale. Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy--Hadamard. Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio per la Sviluppabilita' in serie di Taylor. Sviluppi in serie notevoli. 2. Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Elementi di topologia in R2 e R3. Insiemi limitati. Aperti connessi. Limiti e continuita'. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwartz. Gradiente. Differenziabilita'. Differenziabilita' e continuita'. Teorema del differenziale. Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Funzioni a gradiente nullo in un connesso. Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo. 3. Cenni sulle equazioni differenziali e metodi risolutivi di alcune di esse. Posizione del problema. Problema di Cauchy. Proprieta' generali delle equazioni lineari. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Caratterizzazione dell'indipendenza di due soluzioni. Caratterizzazione dell'integrale generale delle equazioni lineari del secondo ordine omogenee. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee. Metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Equazione di Eulero. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Equazione a variabili separabili, omogenea, di Bernoulli. 4. Integrali curvilinei e forme differenziali in R2 e R3. Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. Rettificabilita'. Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Forme differenziali. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Potenziale di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R2. Forme differenziali in un aperto stellato di R3. 5. Cenni sull'integrazione in R2 e R3 secondo Riemann. Domini normali di R2. Integrabilita' su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Teorema di Fubini--Tonelli. Primo teorema di Guldino. Formule di Gauss--Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formule per il calcolo dell'area. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Domini normali rispetto a un piano. Integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. 6. Superfici e integrali superficiali. Superfici regolari. Area di una superficie regolare. Integrali superficiali. Priority="62" Unh



Testi di riferimento


[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.

[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.



Programmazione del corso

 *ArgomentiRiferimenti testi
1*Metodi risolutivi di equazioni differenziali ordinarie[1], cap. 1, 12 ore 
2*Calcolo infinitesimale per le curve[1], cap. 2, 7 ore 
3*Calcolo differenziale per funzioni reali di piu' variabili reali[1], cap 3, 12 ore 
4*Estremi liberi e vincolati di una funzione di piu' variabili[1], capp. 3- 4, 12 ore 
5*Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili[1], cap. 5, 12 ore 
6*Campi vettoriali e forme differenziali[1], cap. 6, 12 ore 
7*Serie di potenze e serie di Fourier[1], cap. 7, 12 ore 
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'esame sara' solo scritto suddiviso in parte pratica della durata di due ore e in parte teorica della durata di un'ora. Le due prove vengono espletate nella medesima seduta di esame.

La commissione valuta l'intero elaborato ed esprime un voto in trentesimi.


DATE DEGLI APPELLI

Come da calendario pubblicato sul sito ufficiale di Ateneo

http://portalestudente.unict.it

oppure

www.dieei.unict.it/ing.elettronica


PROVE IN ITINERE

Nessuna


PROVE DI FINE CORSO

Nessuna


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Forme differenziali.

Relazione tra derivabilita' e differenziabilita' per una funzione di due variabili.

Estremi condizionati di una funzione.




Apri in formato Pdf English version