ANALISI MATEMATICA I - canale 2

Fornire conoscenze e competenze fondamentali riguardanti il Calcolo Differenziale, le Serie Numeriche ed il Calcolo Integrale

Buone conoscenze di base di aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è fortemente consigliata per sostenere la prova d'esame

PROGRAMMA DEL CORSO

1. SISTEMI NUMERICI. Numeri reali come allineamenti decimali. Uguaglianza, ordinamento ed operazioni fra numeri reali. Assioma di Induzione (con varie applicazioni fra le quali lo studio della disuguaglianza di Bernoulli e della successione geometrica). Proprietà di Archimede. Densità di Q e di R\Q in R. Potenze ad esponente intero. Radice n-esima. Potenza ad esponente razionale e reale. Logaritmo di un numero reale positivo. Il sistema esteso dei numeri reali. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo superiore e estremo inferiore. Proprietà ell'estremo superiore. Completezza secondo Dedekind di R. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari. Funzione composta e funzione inversa. Estremi di una funzione. Numeri complessi. Uguaglianza e operazioni. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Radici n-esime nel campo complesso.
2. LIMITI DELLE SUCCESSIONI E DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Cenni di topologia. Successioni numeriche. Limiti di successioni. TeoremI di Borel-Heine e di Bolzano Weierstrass. Operazioni sui limiti di successioni. Forme indeterminate. Teoremi fondamentali relativi ai limiti di successioni (fra cui "unicità del limite, permanenza del segno, limitatezza di successioni convergenti, confronto, limiti di successioni monotòne, limiti di successioni estratte") e limiti notevoli (fra i quali il limite della successione di Nepero e della successione geometrica). Criterio di Cauchy per la convergenza di una successione. Massimo e minimo limite di una successione. Teoremi di Cesaro per lo studio delle forme indeterminate del quoziente e conseguenze. Infinitesimi e infiniti. Limiti delle funzioni reali di una variabile reale. Caratterizzazione della nozione di limite di una funzione in termini di limiti di successioni (con applicazioni alla dimostrazione di vari risultati relativi ai limiti di funzioni). Limiti delle funzioni monotone. Asintoti. Limiti notevoli per le funzioni reali di variabile reale.
3. FUNZIONI CONTINUE. Definizione di continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni composte. Continuità, invertibilità e monotonìa. Punti di discontinuità di una funzione. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux sui valori intermedi. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. Altre condizioni sufficienti per l'uniforme continuità.
4. CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivabilità e di derivata. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Significato geometrico del limite del rapporto incrementale e punti angolosi, cuspidali, di flesso a tangente verticale. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Differenziale. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonìa per le funzioni derivabili. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Teoremi di de L'Hopital. La formula di Taylor. Funzioni convesse in un intervallo e risultati sulla convessità di funzioni derivabili una o due volte. Punti di flesso. Studio qualitativo del grafico di una funzione. Successioni ricorsive.
5. SERIE NUMERICHE. Carattere di una serie. Serie resto. Operazioni con le serie. Serie armonica, di Mengoli e geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Criterio di Raabe. Criterio di condensazione di Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Teorema di Leibniz. Proprietà associativa e commutativa. Serie prodotto secondo Cauchy (e teoremi relativi).
6. INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN. Integrabilità ed integrale secondo Riemann. Primi esempi. Esempio di funzione non integrabile. Proprietà degli integrali. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità, delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate. Significato geometrico. Integrale definito. Teorema del valore medio. Primitive. Funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema di Torricelli. Integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per razionalizzazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali impropri. Criteri di sommabilità e di assoluta sommabilità. Integrali impropri e serie

G. Emmanuele, Analisi Matematica I, Pitagora Editrice Bologna (seconda edizione) 2016

Nela pagina web del docente è presente un elenco di libri di esercizi (http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/libro.html)

Sul sito personale, all'indirizzo http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/ è possibile reperire testi di compiti di Analisi Matematica I assegnati in precedenti anni accademici in vari corsi di laurea

Si veda "Prova in itinere" e "Prova di fine corso".

Competenze minime necessarie al superamento dell’esame

• Conoscere le definizioni e gli enunciati dei teoremi presenti nel programma.
• Risolvere equazioni e disequazioni.
• Calcolare l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme numerico.
• Calcolare i limiti di funzioni e di successioni.
• Riconoscere i punti di continuità delle funzioni.
• Classificare le singolarità delle funzioni.
• Calcolare le derivate delle funzioni.
• Determinare i punti di minimo e di massimo delle funzioni.
• Studiare il carattere di una serie numerica.
• Calcolare integrali definiti ed indefiniti.

Sono previste due prove in itinere (durata 2 ore e trenta minuti).

La prima prova in itinere riguarda le UDE 1,2,3,4. La prova è divisa nelle parti A, B e C. Nella parte A si richiedono il calcolo di un limite, una definizione, la dimostrazione di un teorema, e lo studio di una funzione. La parte B consiste in un test a risposta multipla. La parte C consiste in tre quesiti di natura qualsiasi inerenti le quattro UDE. I quesiti delle parti A e B costituiscono le competenze minime. Il voto minimo è 18/30. Il voto massimo con le sole competenze minime è 23/30. Il voto massimo senza esame orale è 30/30.

La seconda prova in itinere riguarda le UDE 5, 6. La prova è divisa nelle parti A, B e C. Nella parte A sono assegnati lo studio del carattere di una serie e la dimostrazione di un teorema. Nella parte B sono assegnati l'enunciazione di una definizione, il calcolo di un integrale e la dimostrazione di un teorema. La parte C consiste in tre quesiti di natura qualsiasi inerenti le due UDE. I quesiti delle parti A e B costituiscono le competenze minime. Il voto minimo è 18/30. Il voto massimo con le sole competenze minime è 23/30. Il voto massimo senza esame orale è 30/30.

Il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove. Si potrà tentare di incrementare il voto finale, su richiesta del candidato, sostenendo una prova orale

La prova d'esame è composta da una prova scritta ed una prova orale. La prova d'esame finale è riservata a coloro che non hanno superato nessuna delle due prove in itinere

Sul sito del docente (http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/) è possibile reperire i testi dei compiti di Analisi Matematica 1 assegnati dal docente in anni precedenti ed in vari corsi di laurea