MATEMATICA DISCRETA

1) Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): L’obiettivo del corso è quello di dare le nozioni di base dell’algebra lineare, della geometria analitica, della teoria dei numeri e della combinatorica che servono per interpretare e descrivere i problemi nelle discipline informatiche.

2) Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari per poter affrontare e risolvere autonomamente nuove problematiche che dovessero sorgere durante una attività lavorativa.

È essenziale avere buona conoscenza degli elementi di base dell'Aritmetica, dell'Algebra Elementare, della Geometria Euclidea nel piano e nello spazio, della Geometria Analitica del piano e della Trigonometria.

Le risorse principali messe a disposizione dello studente sono le lezioni frontali tutte condotte alla lavagna in aula, la cui frequenza è fortemente consigliata.

PARTE A

1. Preliminari. Insiemi ed operazioni tra di essi *. Applicazioni *. Relazioni. Relazioni di equivalenza e di ordinamento parziali *. Cardinalità di un insieme*. Operazioni algebriche binarie*. Strutture algebriche: gruppi, campi*.

2. Teoria dei numeri. Numeri naturali *. Numeri interi relativi *. Principi di induzione*. Teorema di divisione*. Massimo comune divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.)*. Sistemi di numerazione*.Congruenze*. Equazioni di congruenze*. Sistemi di congruenze e teorema cinese del resto*. Teorema di Fermat*. Applicazioni alla crittografia*.

3. Calcolo combinatorio*. Regola del prodotto e regola della somma*. Permutazioni, combinazioni,disposizioni (semplici e con ripetizione)*. Formula di Stifel e identità di Vandermonde*. Binomio di Newton*. Distribuzione di n biglie in k urne*. Numero di Stirling di seconda specie*. Principio di inclusione ed esclusione*. Grafi: definizioni ed esempi. Rappresentazioni di un grafo*. Alberi *.

4. Probabilità discreta. Definizione di probabilità *. Probabilità uniforme e relative proprietà *. Probabilità condizionale*. Indipendenza stocastica*.

5. Calcolo matriciale e sistemi lineari*. Matrici. Operazioni tra matrici *. Matrici notevoli *. Sistemi lineari *. Calcolo della matrice inversa *. Determinante di una matrice quadrata e relative proprietà*. Rango di una matrice *. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli *.

PARTE B

1. Calcolo vettoriale. Vettori applicati *. Teorema di scomposizione *. Prodotto scalare e prodotto vettoriale*. Prodotto misto *. Vettori liberi *.

2. Geometria lineare nel piano. Rette nel piano e loro equazioni *. Parallelismo e ortogonalità *. Intersezione mfra rette *. Coordinate omogenee nel piano *. Fasci di rette *.

3. Isometrie piane *. Traslazione, rotazione attorno ad un punto *. Riflessione rispetto ad una retta *.

4. Geometria lineare nello spazio. Piani e rette nello spazio e loro equazioni *. Parallelismo e ortogonalità *. Intersezione tra piani, tra un piano e una retta e tra rette *. Coordinate omogenee nello spazio *. Punti e rette improprie nello spazio*. Fasci di piani *.

5. Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale*. Sottospazi vettoriali e operazioni tra di essi *. Sottospazio somma *. Lineare indipendenza e lineare dipendenza*. Basi di uno spazio vettoriale *. Dimensione di uno spazio vettoriale *. Basi ordinate di uno spazio vettoriale *.

6. Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare *. Nucleo e immagine di una applicazione lineare *. Proprietà delle applicazioni lineari *. Rango di una applicazione lineare *. Cambiamenti di base *. Formule di trasformazione delle componenti *. Matrici associate ad una applicazione lineare *. Matrici simili *. Autovalori e autovettori *. Polinomio caratteristico *. Ricerca degli autovalori e degli autospazi ad essi associati *. Endomorfismi semplici *. Matrici diagonalizzabili *. Similitudine tra matrici *.

1. Appunti in rete alla pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/didattica-2/
2. S. Giuffrida, A. Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Il Cigno Galileo Galilei Roma.
3. G. Paxia, Lezioni di Geometria, Cooperativa Universitaria Libraria Catanese.
4. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Mc Graw Hill.

Appunti in rete alla pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/didattica-2/

Il materiale contenuto nel sito indicato sopra è presente anche nel portale Studium.

L'esame finale consiste in una prova scritta e di un colloquio orale e prevede una votazione in trentesimi. L’esame è superato se lo studente ottiene un punteggio maggiore o uguale di diciotto (18/30).

Prove d’esame complete. Nella sessione estiva (giugno-luglio) e nella sessione autunnale (settembre ottobre),si effettueranno le prove d’esame ufficiali. In tale sede, coloro che hanno deciso di non effettuare alcuna prova in itinere durante l’anno potranno sostenere una prova scritta completa mentre coloro che non hanno superato qualcuna delle prove in itinere potranno sostenere la parte di prova mancante.

Allo scopo, ogni prova completa è suddivisa in modo chiaro in quattro parti, denominate A1, A2, B1,B2, ciascuna delle quali ha una durata massima di 45 minuti. La prova completa, dunque, dura 180 minuti. Ad esempio, chi in sede di prova d’esame dovesse sostenere due prove in itinere non superate durante l’anno, ha a disposizione 90 minuti da gestire come meglio crede. Le modalità di valutazione delle prove scritte complete sono le stesse di quelle stabilite per le prove in itinere scritte. Vi sarà una votazione per ognuna delle parti (A1 e/o A2 e/o B1 e/o B2) svolte dal candidato.

Prove in itinere

Il corso di “Matematica Discreta” è annuale. Il programma è stato suddiviso idealmente in due parti:

Parte A: viene effettuata nel primo periodo didattico (cioè dal 10 Ottobre 2016 al 27 Gennaio 2017).

Parte B: viene effettuata nel secondo periodo didattico (cioè dal 13 Marzo 2017 al 9 Giugno 2017).

Si ricorda che è prevista la sospensione dell’attività didattica di insegnamento dal 21 Dicembre 2016 a giorno 8 Gennaio 2017 e dal 12 Aprile 2017 al 18 Aprile 2017.

Nel corso dell’anno sono previste quattro prove in itinere scritte e due prove in itinere orali. Le date di tali prove verranno concordate durante l’anno con gli Studenti.

Prove scritte:

A1) Principio di induzione, congruenze, ulteriori elementi di teoria dei numeri, calcolo combinatorio

A2) Sistemi lineari, probabilità discreta

B1) Geometria lineare nel piano e nello spazio, trasformazioni geometriche piane

B2) Spazi vettoriali e applicazioni lineari

Le prove scritte sono tra loro indipendenti quindi lo Studente può decidere di sostenere una delle prove A1, A2, B1, B2 senza aver necessariamente sostenuto o superato la/le prova/e che l’hanno preceduta.

Prove orali:

O1) Principio di induzione, congruenze, ulteriori elementi di teoria dei numeri, calcolo combinatorio. Sistemi lineari, probabilità discreta.

O2) Geometria lineare nel piano e nello spazio, trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali e applicazioni lineari

Ogni prova in itinere scritta verrà valutata in trentesimi. Ogni prova in itinere scritta si intende superata se il candidato ha totalizzato un punteggio di almeno quindici trentesimi (15/30). Tali valutazioni incideranno parzialmente nella formulazione del voto in trentesimi di ogni prova orale. Il voto finale è la media aritmetica dei voti conseguiti nei due orali O1 e O2.

L’orale O1 va sostenuto solo dopo aver superato entrambe le prove A1 e A2; L’orale O2 va sostenuto solo dopo aver superato entrambe le prove B1 e B2. In generale, l’orale può essere sostenuto soltanto dopo aver superato le corrispondenti prove scritte. La data dell’orale può essere concordata con gli Studenti.

L'esame finale consiste in una prova scritta e di un colloquio orale e prevede una votazione in trentesimi. L’esame è superato se lo studente ottiene un punteggio maggiore o uguale di diciotto (18/30).

Prove d’esame complete. Nella sessione estiva (giugno-luglio) e nella sessione autunnale (settembre ottobre),si effettueranno le prove d’esame ufficiali. In tale sede, coloro che hanno deciso di non effettuare alcuna prova in itinere durante l’anno potranno sostenere una prova scritta completa mentre coloro che non hanno superato qualcuna delle prove in itinere potranno sostenere la parte di prova mancante.

Allo scopo, ogni prova completa è suddivisa in modo chiaro in quattro parti, denominate A1, A2, B1,B2, ciascuna delle quali ha una durata massima di 45 minuti. La prova completa, dunque, dura 180 minuti. Ad esempio, chi in sede di prova d’esame dovesse sostenere due prove in itinere non superate durante l’anno, ha a disposizione 90 minuti da gestire come meglio crede. Le modalità di valutazione delle prove scritte complete sono le stesse di quelle stabilite per le prove in itinere scritte. Vi sarà una votazione per ognuna delle parti (A1 e/o A2 e/o B1 e/o B2) svolte dal candidato.

PROVA ORALE

Insiemi. Potenza di un insieme. Teoria dei numeri. Calcolo combinatorio. Principio di inclusione ed esclusione. Matrici e sistemi lineari. Probabilità discreta. Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Autovettori ed endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice.

PROVA SCRITTA

Esercizi riguardanti i seguenti argomenti:

Principio di induzione. Congruenze e sistemi di congruenze. Massimo comune divisiore. Calcolo combinatorio. Equazioni diofantee. Matrici e sistemi lineari. Probabilità discreta. Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Studio di una applicazione lineare. Autovettori. Studio della semplicità di un endomorfismo. Diagonalizzazione di matrici.