MECCANICA RAZIONALE

Il corso ha la finalità di fornire conoscenze di base del calcolo vettoriale, della statica e dinamica dei sistemi materiali e dei corpi rigidi.

Lo studente sarà in grado di determinare l'ubicazione del baricentro, momenti di inerzia e le configurazioni di equilibrio di un sistema materiale con un numero finito di gradi di libertà e di calcolare in esse le reazioni vincolari.

Lezioni ed esercitazioni in aula. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Sono necessarie nozioni di: geometria analitica e algebra lineare, calcolo differenziale di funzioni a una o più variabili, calcolo integrale di funzioni a una o più variabili ed elementi di fisica generale. Propedeuticità: Fisica, Analisi matematica I , Algebra lineare e geometria.

La frequenza è obbligatoria.

Elementi di calcolo e analisi vettoriale. Richiami sui vettori liberi. Funzioni a valori vettoriali. Operatori differenziali. Applicazioni geometrico-differenziali alle curve.

Vettori Applicati. Sistemi di vettori applicati. Risultante. Momento polare ed assiale. Coppia. Asse centrale. Sistemi di vettori applicati equilibrati. Sistemi di vettori applicati equivalenti. Riduzione di sistemi di vettori applicati. Sistemi di vettori applicati concorrenti. Sistemi di vettori applicati paralleli. Centro e sue proprietà. Sistemi di vettori applicati piani.

Cinematica del punto. Spazio e tempo. Rappresentazione del moto. Velocità ed accelerazione. Moto piano. Moto circolare. Moto armonico. Moto elicoidale uniforme.

Elementi di cinematica dei sistemi vincolati. Vincoli e loro rappresentazione analitica. Vincoli olonomi, anolonomi, fissi, mobili, unilateri bilateri. Sistemi olonomi. Gradi di libertà. Coordinate lagrangiane. Velocità lagrangiane. Spostamenti possibili e spostamenti virtuali.

Moti rigidi. Definizione e condizione caratteristica. Corpo rigido. Terna solidale. Gradi di libertà di un sistema che si muove di moto rigido. Angoli di Eulero. Formule di Poisson. Formula caratteristica della cinematica dei moti rigidi. Moto rigido rototraslatorio. Moto rigido traslatorio. Moto rigido elicoidale. Moto rigido rotatorio assiale. Atto di moto e moti tangenti. Teorema di Mozzi. Asse di Mozzi. Accelerazione nel moto rigido.

Cinematica relativa. Sistemi di riferimento assoluti e relativi. Velocità assoluta, relativa e di trascinamento. Accelerazione assoluta, relativa, di trascinamento e di Coriolis. Teorema di composizione delle velocità e delle accelerazioni. Sistemi di riferimento equivalenti. Teorema di composizione delle velocità angolari nel moto rigido. Derivata assoluta di un vettore. Moti rigidi piani. Centro di istantanea rotazione. Cenni su base e rulletta.

Meccanica del Punto. Assiomi della dinamica classica del punto. Principio di inerzia. Postulati di Kirchhoff e Mach. Forza. Equazione fondamentale della dinamica del punto. Principio di azione e reazione. Postulato delle reazioni vincolari. Equazione fondamentale della dinamica del punto vincolato. Dinamica relativa. Forza peso.

Principio delle reazioni vincolari per vincoli lisci. Dinamica del punto materiale vincolato ad una curva liscia. Statica del punto materiale libero. Statica del punto materiale vincolato ad una superficie e a una curva liscia.

Geometria delle Masse. Baricentro di un sistema materiale e proprietà. Momenti di inerzia e relative proprietà. Teorema di Huygens. Matrice ed ellissoide di inerzia. Terna principale di inerzia. Terna centrale di inerzia. Quantità di moto e momento delle quantità di moto. Energia cinetica. Moto relativo al baricentro. Teorema di König.

Lavoro, potenziale. Definizione di lavoro infinitesimo. Forze posizionali. Forze conservative. Esempi di forze conservative. Potenziale. Sollecitazioni conservative. Lavoro in coordinate lagrangiane. Forze generalizzate di Lagrange. Lavoro in uno spostamento rigido.

Meccanica dei sistemi. Equazioni cardinali della dinamica ed il sistema delle forze interne. Teoremi di bilancio della quantità di moto e del momento delle quantità di moto. Teorema del moto del baricentro. Teorema delle forze vive. Teorema di conservazione dell'energia. Principio dei lavori virtuali ed applicazioni. Equilibrio di un sistema olonomo. Principio di stazionarietà del potenziale. Equazioni cardinali della statica e determinazione delle reazioni vincolari esterne ed interne. Statica di un corpo rigido con un asse fisso. Statica del corpo rigido con un punto fisso. Statica del corpo rigido appoggiato ad un piano. Forze perdute e principio di D'Alembert. Equazioni di Lagrange per i sistemi olonomi.

1) E. OLIVERI, Lezioni di Meccanica Razionale. Ed. CULC, Catania.
2) G. GRIOLI, Lezioni di Meccanica Razionale. Ed. Libreria Cortina, Padova.
3) M. FABRIZIO, Elementi di Meccanica Classica. Ed. Zanichelli Bologna.
4) S. BRESSAN, G. GRIOLI, Esercizi di Meccanica Razionale. Ed. Libreria Cortina, Padova.
5) A. GRASSO – A. RIGANO, Esercizi di Meccanica Razionale. Ed. CULC, Catania.

Eventuale materiale didattico sarà inserito su STUDIUM

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale.

La prova scritta consiste nella risoluzione, giustificata, di esercizî, in particolare sarà divisa in due parti: parte A e parte B. La parte A riguarda argomenti di cinematica e cinematica delle masse (esempio calcolo di baricentri, di momenti di inerzia). La parte B riguarda argomenti di statica e dinamica (esempio calcolo di configurazioni di equilibrio, di reazioni vincolari). E' necessario superare la prova scritta (entrambe le parti) per sostenere la prova orale.

La prova orale riguarda la teoria nel suo complesso.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Per sostenere l’esame lo studente deve prenotarsi entro i termini fissati per ciascun appello sul portale studenti ed aver acquisito le previste propedeuticità.

Determinare il baricentro di un sistema materiale. Determinare momenti d'inerzia di un sistema materiale. Determinare una matrice di inerzia di un sistema materiale. Determinare le condizioni di equilibrio di un sistema materiale. Determinare le configurazioni di equilibrio di un sistema materiale. Determinare le reazioni vincolari nelle configurazioni di equilibrio di un sistema materiale.