ISTITUZIONI DI ANALISI NUMERICA

12 CFU - 1° e 2° semestre

Docenti titolari dell'insegnamento

SEBASTIANO BOSCARINO - MODULO I - MAT/08 - 6 CFU
GIOVANNI RUSSO - MODULO II - MAT/08 - 6 CFU

Obiettivi formativi

MODULO I
L'obiettivo del corso è quello di introdurre lo studente alle problematiche computazionali legate alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e di fornirgli gli strumenti necessari per la
loro risoluzione numerica. In particolare gli studenti vengono esposti alle fondamentali nozioni di consistenza, stabilità e convergenza dei vari metodi numerici presentati durante il corso, nonché a questioni pratiche che riguardano la loro accuratezza ed efficienza. Particolare enfasi viene data allo sviluppo di codici di calcolo nell’utilizzo di software scientifici, con particolare riferimento al software Matlab, consentendo allo studente di avvicinarsi al mondo del Calcolo Scientifico ed alle simulazioni numeriche di modelli matematici.

INDICATORI DI DUBLINO.

1) Conoscenza e capacità di comprensione. Il corso costituisce un primo passo nello studio avanzato di metodi numerici per equzioni differnziali ordinaire e tratta argomenti di grande interesse per le applicazioni. Tale corso, partendo dalle conoscenze di base relative all' analisi matematica, di programmazione e di nozioni di calcolo numerico, completa la preparazione, rafforzando le conoscenze di base e avviando una introduzione alle strutture algoritmiche e alle procedure computazionali utilizzando il software numerico Matlab, come specifico linguaggio di programmazione. L'utilizzo di numerosi libri accanto ad alcune dispense sugli argomenti del corso scritti dal docente si propone di migliorare le capacità di lettura e comprensione dello studente. Verrano presentati alcuni risultati pratici attraverso il software Matlabi durante il corso, mirando a migliorare la capacità di risoluzione applicativa e numerica di problemi e a fornire avanzate competenze computazionali.

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione. L'utilizzo e la conoscenza del software Matlab durante il corso, mira a migliorare la capacità di soluzione di problemi anche applicativi, di migliorare la padronanza di concetti di programmazione e di nozioni di calcolo scientifco, e di favorire capacità di problem solving. Talvolta durante il corso verranno presentate alcune verifiche computazionali di risultati teorici (esempio: accuratezza e stabilità di un metodo numerico), anche al fine di illustrare alcuni teoremi. Inoltre tali risultati permettono allo studente di essere in grado di utilizzare competenze computazionali e informatiche per studiare problematiche matematiche.

3) Autonomia di giudizio: Essendo il corso di natura istituzionale, viene richiesto allo studente il miglioramento delle sue capacità di argomentazione logiche e nell’importanza di riconoscere le ipotesi per il raggiungimento delle tesi. Le varie verifche computazionali proposte e svolte in aula, riviste per conto proprio in seguito dallo studente o discusse con i compagni di corso, sono spesso affrontate utilizzando diversi schemi logici e favorendo così lo sviluppo di capacità critiche nello studente che si abitua a seguire necessariamente non la strada più immediata, e spesso meno efficiente, ma più appropiata dal punto di vista computazionale. Le esercitazioni in aula favoriscono l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale. L’ampia letteratura suggerita favorisce l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di una autonomia per affrontare nuove problematiche nel campo della matematica applicata.

4) Abilità comunicative. In presenza di un problema reale di carattere industriale o finanziario, rappresentato da situazioni relativamente elementari di interesse applicativo, lo studente, attraverso la sua formazzione matematica e soprattutto la sua capacità di modellizzazione numerica, è portato dapprima a dare conto delle motivazioni del problema da risolvere descrivendolo, a seconda degli ambiti in cui tale problema è nato, e in seguito dare adeguata comunicazione a realizzare l’effettiva soluzione del problema. I vari testi suggeriti per il corso, alcuni in lingua Inglese, abituano lo studente alla conoscenza dei vari termini scientifico del calcolo numerico espressi in lingua inglese e all’uso dell’inglese per comunicazioni scientifiche. L’esame orale o la presntazione di una tesina costringe lo studente a esprimere in modo matematicamente rigoroso i vari argomenti del corso.

5) Capacità di apprendimento. L'apprendimento richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per altri studi nel corso di studi della laurea Magistrale o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi. Inoltre la conoscenza del linguaggio Matlab fornisce uno strumento computazionale da poter autonomamente utilizzare come ausilio informatico nei corsi della laurea Magistrale nonché in ambito lavorativo. Inoltre l’estrema flessibilità del software scientifico Matlab porrà lo studente nella condizione di adattarsi rapidamente all’evoluzione degli strumenti informatici e di mantenere adeguate le proprie competenze scientifiche.
MODULO II
Obiettivo primario del corso di Analisi Numerica è quello di fornire allo studente i concetti e le tecniche fondamentali nello studio dei metodi per la risoluzione numerica (cioè al calcolatore) di modelli matematici retti da sistemi di equazioni differenziali. Il primo modulo si occupa principalmente dei metodi per equazioni differenziali ordinarie. Il secondo modulo rappresenta una introduzione ai metodi per la risoluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali, con particolare riferimento alle equazioni Fisica Matematica: equazioni paraboliche, ellittiche ed iperboliche. Gli studenti vengono esposti alle fondamentali nozioni di consistenza, stabilità e convergenza dei metodi, nonché a questioni pratiche che riguardano la loro accuratezza, efficienza e robustezza. Per completezza, durante il corso vengono richiamate le principali proprietà matematiche di tali equazioni, ed alcune loro applicazioni principali alla descrizione di fenomeni stazionari e dipendenti dal tempo.

Naturale continuazione dei primo modulo esso è indicato per chi ha interessi per le applicazioni della matematica a una grande varietà di modelli del mondo reale. Chi volesse approfondire gli argomenti trattati nel corso potrà poi seguire il corso di Fluidodinamica Computazionale, al secondo anno della Magistrale, dedicato alle tecniche per la soluzione numerica delle equazioni di Eulero e Navier-Stokes che governano il moto di fluidi e gas.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

MODULO I
Il corso di Analisi Numerica si svolgerà principalmente attraverso lezioni frontali. La trattazione teorica dei vari argomenti sarà accompagnata da esercitazioni con il calcolatore in cui verranno affrontati problemi di tipo applicativo in modo da consolidare l'apprendimento dei vari argomenti sviluppati in aula. L’implementazione dei vari metodi numerici presentati durante il corso avverrà attraverso l'uso del linguaggio Matlab.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare i contenuti del corso riportati sotto.
MODULO II
Il corso consiste in lezioni frontali, durante le quali vengono illustrati i vari argomenti. Verranno effettuate esercitazioni pratiche con implementazione al calcolatore dei principali metodi spiegati a lezione. L'esame consiste in un colloquio orale.

Le lezioni saranno in presenza, oppure in modalità mista o a distanza, a seconda di quanto consentito dalle misure di contenimento della pandemia, e nel rispetto della sicurezza degli studenti e del docente.

Prerequisiti richiesti

MODULO I
Si assume la conoscenza di nozioni di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale, nozioni di programmazione e conoscenza del linguaggio MATLAB, nozioni di calcolo numerico.
MODULO II
Propedeuticità: nessuna; si assume la conoscenza di nozioni di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale, nozioni di programmazione e conoscenza di un linguaggio di programmazione adatto al calcolo scientifico, come Matlab o Python, nonché nozioni di calcolo numerico.

Frequenza lezioni

MODULO I
Modulo 1: CFU 6; Ore: 48 (didattica frontale ed esercitazioni);

La frequenza delle lezioni, per quanto non obbligatoria per il superamento dell'esame, è tuttavia fortemente consigliata.
MODULO II
Modulo 2:

6 CFU, 48 ore di didattica frontale.

La frequenza delle lezioni, per quanto non obbligatoria per il superamento dell'esame, è tuttavia fortemente consigliata.

Contenuti del corso

MODULO I

Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali ordinarie, EDOs, (esistenza,unicità e dipendenza continua dai dati).

Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero (esplicito ed implicito), metodo di Eulero Modificato, metodo di Heun; metodi a un passo; esempi: metodi basati su sviluppo in serie di Taylor, metodi Runge-Kutta (RK). Convergenza e condizioni sull'ordine. Errore di discretizzazione; ordine di un metodo a un passo; convergenza; teorema di consistenza; metodi Runge-Kutta in generale; formalismo di Butcher; condizioni sull'ordine; metodi impliciti; esistenza della soluzione numerica per metodi Runge-Kutta impliciti. Metodi di collocazione, aspetti implementativi: controllo del passo.

Metodi Multistep, metodi di Adams e BDF, metodi LMM, metodi predictor-corrector, 0-stabilita' e convergenza dei metodi multistep. Stabilità. Problemi dissipativi e stabilità; problemi stiff; A- stabilità; definizioni più generali di stabilità.

Equazioni differenziali algebriche (EDAs). Forme speciali di EDAs. Metodi numerici per la risoluzione di EDAs. Metodi Runge Kutta partizionati ed addititivi, Metodi Runge Kutta espliciti-impliciti e problemi di singola perturbazione.

Problemi ai limiti. Problemi ai limiti teoria ed applicazioni, metodo shooting e multiplo, metodo alle differenze finite.

Durante il corso verranno presentati alcuni Toolbox presenti nel software Matlab per la risoluzione di EDOs.
MODULO II
Richiami di modelli retti da equazioni alle derivate parziali: equazioni di Poisson, del calore e delle onde.

Richiami di buona positura dei problemi per le equazioni differenziali della Fisica Matematica.

Equazione del calore. Richiami su alcuni procedimenti per ottenere soluzioni esatte in casi particolari: metodo di Fourier e di separazione delle variabili.
Metodo di Eulero in avanti. Analisi della stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero all'indietro e di Crank-Nicholson. Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore con coefficienti variabili. Consistenza, convergenza e stabilità dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema di equivalenza di Lax (enunciato). Equazione del calore in più dimensioni. Metodi a passi frazionari. Metodi Alternate Direction Implicit (ADI).

Equazioni ellittiche. Metodo alle differenze finite per l’equazione di Poisson su griglie Cartesiane. Discretizzazione di tipo vertex-center e cell-center. Il problema delle condizioni al contorno (condizioni di Dirichlet e di Neumann) Metodi di tipo level set e ghost point per il trattamento di geometrie arbitrarie. Medoto Multigrid per la risoluzione del relativo sistema algebrico sparso (cenni).

Equazioni iperboliche. Singola equazione scalare lineare. Il metodo delle caratteristiche.

Metodi alle differenze finite. I metodi a tre punti: upwind, Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff. Consistenza e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di dipendenza dai dati.
Metodi del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione e dispersione. Equazione di Burgers. Metodo delle caratteristiche. Soluzioni discontinue.

Oltre agli argomenti sopra elencati, durante il corso si svolgeranno esercitazioni in Matlab o in Python (utilizzando numpy) che illustrano l'implementazione di alcuni metodi di base.

Nota bene. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Testi di riferimento

MODULO I
1) G. Naldi, L. Pareschi, G. Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Testo semplice ed intuitivo. Capitolo 8 è dedicato ai metodi per la risoluzione di ODE.

2) A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Matematica Numerica, Springer Italia, 3° Edizione.
Testo molto ampio e ricco di esempi. Contiene molto materiale e riporta esempi didattici implementati in matlab.

3)V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.
Classico testo di Analilsi Numerica, molto vasto. Contiene molto materiale. Utile strumento di consultazione per alcuni argomenti (es. differenze finite o introduzione ai metodi variazioniali).

4) U. M. Asher e L. R. Petzol, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential_Algebraic Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA, 1998. Testo utilizzato per la parte riguardante le equazioni differenziali-algebriche.

5) J. Stoer e R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis. Ed. Springer Verlag.

6) Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Syvert P. Nørsett, Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. Third edition, Springer, 2008.

7) Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations. I. Stiff problems. Third edition, Springer, 2010.
MODULO II
Randall Le Veque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM 2007.

Un singolo libro per la trattazione di metodi alle differenze finite sia per equazioni differenzialo ordinarie che alle derivate parziali. Alcuni argomenti sulle EDP sono tratti da questo testo.

John Strickwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations Paperback – September 30, 2007.

Ottimo testo introduttivo sui metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali.

Robert D. Richtmyer, K. W. Morton, Difference methods for initial-value problems, Interscience Publishers, 1967 - 405 pages

Un classico testo, ancora validissimo per molti concetti di base

K. W. Morton and D. F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction, University of Oxford, UK, Second Edition

Una introduzione ai metodi numerici (principalmente alle differenze finite) per le equazioni differenziali della fisica matematica.

Altro materiale didattico

MODULO I
Oltre ai Libri sopra elencati, vengono fornite delle dispense da parte del docente sugli argomenti del corso.

Queste dispense vengono messe a disposizione da parte del docente agli studenti del corso utilizzando una cartella condivisa sul cloud storage Dropbox.
MODULO II
I codici in Python utilizzati per illustrare alcuni dei metodi svolti a lezione si possono trovare nella cartella seguente:

https://www.dropbox.com/sh/sv420oin3buyf9l/AAAtqxhaVyCA3ECfyGT8AD-La?dl=0

Codici Matlab sull'equazione del calore si trovano nella seguente cartella:

https://www.dropbox.com/sh/9ut88p2i2vck84x/AAACppzupOdK1B0TQCDpMpgGa?dl=0

Codici Matlab sull'equazione delle onde in 1D e 2D si trovano nella seguente cartella:

https://www.dropbox.com/sh/6x98zch109f8jyh/AAAVIoOJxX6UeZKx67Qz_LnDa?dl=0

Programmazione del corso

MODULO I
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Metodi Runge-Kutta per ODEs	Testi di riferimento: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
2	Metodi di collocazione per ODEs	Testi di riferimento: 4) 5) 6) 7)
3	Metodi Multistep per ODEs	Testi di riferimento: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
4	Equazioni differenziali algebriche (DAEs)	Testi di riferimento: 4) 7)
5	Problemi ai limiti	Testi di riferimento: 3) 4)
MODULO II
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Richiami di modelli retti da equazioni alle derivate parziali: equazioni di Poisson, del calore e delle onde.
2	Richiami di buona positura del problemi per le equazioni differenziali della Fisica Matematica.
3	Equazione del calore. Richiami su alcuni procedimenti per ottenere soluzioni esatte in casi particolari: metodo di Fourier e di separazione delle variabili.
4	Metodo di Eulero in avanti. Analisi della stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero all'indietro e di Crank-Nicholson.
5	Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore con coefficienti variabili.
6	Consistenza, convergenza e stabilità dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema di equivalenza di Lax (enunciato).
7	Equazione del calore in più dimensioni. Metodi a passi frazionari. Metodi Alternate Direction Implicit (ADI).
8	Equazioni ellittiche. Richiami di teoria.
9	Metodo alle differenze finite per l’equazione di Poisson su griglie Cartesiane. Discretizzazione di tipo vertex-center e cell-center.
10	Il problema delle condizioni al contorno (condizioni di Dirichlet e di Neumann)
11	Metodi di tipo level set e ghost point per il trattamento di geometrie arbitrarie.
12	Medoto Multigrid per la risoluzione del relativo sistema algebrico sparso (cenni).
13	Equazioni iperboliche. Singola equazione scalare lineare. Il metodo delle caratteristiche.
14	Metodi alle differenze finite. I metodi a tre punti: upwind, Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff
15	Consistenza e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di dipendenza dai dati.
16	Metodi del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione e dispersione.
17	Equazione di Burgers. Medoto delle caratteristiche. Soluzioni discontinue

Verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

MODULO I
L’esame consiste in una prova orale oppure nella preserntazione di una tesina con codice Matlab allegarto su un argomento del corso a scelta dallo studente.

L'esame viene verbalizzato come un esame da 6 crediti.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
MODULO II
Italiano.
L'esame viene verbalizzato insieme al modulo I di Analisi Numerica come un solo esame da 12 crediti.
Ciascun modulo consiste in un colloquio orale effettuato dopo la fine di ciascun corso.
La prova in itinere del corso da 12 crediti consiste nel superamento del modulo di Metodi Numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie.
È a discrezione dello studente sostenere i due moduli insieme o separatamente.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

English.
The exam is recorded together with the Numerical Analysis module I as a single 12-credit exam.
Each module consists of an oral interview carried out after the end of each course.
The midterm exam of the 12-credit course consists in passing the module of Numerical Methods for Ordinary Differential Equations.
It is at the student's discretion to take the two modules together or separately.

Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

MODULO I
Teorema di convergenza per il metodo di Eulero esplicito.

Discutere della stabilità dei metodi Runge-Kutta.
MODULO II
Italiano.

- Mi dimostri consistenza e stabilità del metodo Alternate Direction Implicit per l'equazione del calore.
- Come si impongono le condizioni al contorno nel metodo alle differenze finite per l'equzione di Poisson?
- Quel'è l'equazione modificata del metodo upwind per l'equazione di trasporto scalare in una dimensione spaziale?

English.

- Analyse consistency and stability of the Alternate Direction Implicit method for the heat equation.
- How do you impose boundary conditions in the finite difference method for Poisson's equation?
- What is the modified equation of the upwind method for the scalar transport equation in one space dimension?

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