ISTITUZIONI GEOMETRIA SUPERIORE

12 CFU - 1° e 2° semestre

ANGELO BELLA

Obiettivi formativi

MODULO 1
Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Una parte del corso fornisce gli strumenti di Teoria degli Insiemi che verranno poi applicati ad alcuni argomenti di Topologia Generale.
MODULO 2
Il corso intende approfondire alcuni aspetti della Topologia Algebrica. Gli oggetti principali dello studio saranno la teoria dell'omotopia e l'omologia singolare.

MODULO 1
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
MODULO 2
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

MODULO 1
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
MODULO 2
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.

MODULO 1
Introduzione alla Teoria degli Insiemi. Numeri ordinali e cardinali. Filtri e Ultrafiltri. Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Complementi di Topologia Generale.
MODULO 2
Le basi della topologia algebrica. Teoria della omotopia, grado di una funzione tra sfere n-dimensionali. Il teorema di Brower in forma generale. I gruppi di omologia singolare. La sequenza esatta di omologia delle coppie. La sequenza di Mayer-Vietoris. Seconda dimostrazione del teorema di Brower. Il teorema di Jordan in forma generale.

MODULO 1
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
MODULO 2
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.

3. W. Massey"Singular homology theory

MODULO 1
Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

MODULO 1
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Gli assiomi della teoria degli insiemi. Buon ordinamenti.	1
2	I numeri ordinali e la loro relazione con i buon ordinamenti.	1
3	Equipotenza e cardinalita'. I numeri cardinali e la loro aritmetica.	1
4	La nozione di cofinalita' di un cardinale. Cardinali regolari e teorema di Koenig.	1
5	L'ipotesi del continuo.	1
6	Cardinali misurabili.	1
7	Applicazioni dell'induzione transfinita.	1
8	Filtri e ultrafiltri. Il numero degli ultrafiltri liberi su un insieme.	1
9	Ultrafiltri speciali sugli interi. Esistenza di ultrafiltri selettivi.	1
10	Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Proprieta' della compattificazione di Cech-Stone.	1
11	Applicazioni alla numerabile e alla sequenziale compattezza.	1
12	Lo spazio topologico degli ultrafiltri liberi sugli interi. Il teorema di non omogeneita' di Rudin.	1
MODULO 2
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Richiami sulla definizione e le proprietà di base del gruppo fondamentale.
2	Omeomorfismi locali
3	Rivestimenti
4	Quozienti per azioni propriamente discontinue
5	Monodronia
6	Il teorema di Van Kampen.
7	Introduzione alla omologia singolare.
8	Gruppi di omologia e morfismi associati.
9	Omologia relativa
10	La sequenza esatta di omologia.
11	La proprietà di escissione
12	Esempi di calcolo di gruppi di omologia
13	Applicazioni

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

MODULO 1
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
MODULO 2
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

MODULO 1
Definizione di ordinale e sue proprieta'.

La nozione di ultrafiltro.
MODULO 2
La nozione di rivestimento di uno spazio.

Definizione del n-esimo gruppo di omologia singolare.

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