ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE

12 CFU - 1° e 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

ALFONSO VILLANI

Obiettivi formativi

MODULO 1
Il corso si propone di fare apprendere le tecniche più usuali ed i principali teoremi nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter seguire corsi più avanzati.

In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

1) Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.

3) Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta e delle sue applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli propri della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta a situazioni teoriche e/o concrete.

4) Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.

5) Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti di Teoria della Misura non precedentemente approfonditi.
MODULO 2
Il corso si propone di fare apprendere alcune tecniche usuali e notevoli teoremi nell'ambito dell'Analisi Reale, nonché le nozioni fondamentali ed alcuni importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter seguire corsi più avanzati.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

MODULO 1
I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
MODULO 2
I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Prerequisiti richiesti

MODULO 1
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e di Topologia.
MODULO 2
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, di Topologia e di Measure and Integration.

Frequenza lezioni

MODULO 1
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.
MODULO 2
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.

Contenuti del corso

MODULO 1
La misura di Lebesgue. Misure, misure esterne e teorema di Carathéodory. Boreliani di uno spazio topologico. Misure di Borel e funzioni di distribuzione. Completamento di uno spazio di misura. Funzioni misurabili. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. Misure con segno. Integrazione in uno spazio di misura. Spazi L^p. Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. Prodotto di misure; teoremi di Tonelli e di Fubini.
MODULO 2
Misure con segno con densità e teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. Funzioni a variazione limitata ed assolutamente continue. Spazi con seminorme. Spazi normati. Trasformazioni lineari. Il teorema di Hahn-Banach. Topologia debole e debole*. Spazi di Hilbert. Trasfornata di Fourier.

Testi di riferimento

MODULO 1
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line

2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill
MODULO 2
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line

2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill

3. R. Larsen, Functional Analysis, an introduction, Marcel Dekker

4. H. Royden, Real Analysis, 2nd ed., Macmillan

Altro materiale didattico

MODULO 1
Si veda http://www.dmi.unict.it/~villani/
MODULO 2
Si veda http://www.dmi.unict.it/~villani/

Programmazione del corso

MODULO 1
	Argomenti	Riferimenti testi
1	La retta reale estesa: ordinamento e topologia	Testo 1: cap. 1
2	Successioni di insiemi.	Testo 1: cap. 3
3	La misura di Lebesgue.	Testo 1: cap. 4
4	Misure, misure esterne e teorema di Caratheodory.	Testo 1: cap. 5
5	Boreliani di uno spazio topologico.	Testo 1: cap. 6
6	Misure di Borel e funzioni di distribuzione.	Testo 1: cap. 7
7	Completamento di uno spazio di misura.	Testo 1: cap. 8
8	Funzioni misurabili.	Testo 1: capp. 9 e 12
9	Misure con segno.	Testo 1: cap 11
10	Insiemi non misurabili secondo Lebesgue e insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani.	Testo 1: cap. 10
11	Intrgrazione in uno spazio di misura.	Testo 1: cap. 13
12	Spazi L^p.	Testo 1: capp. 15 e 19
13	Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili.	Testo 1: cap 16
14	Prodotto di misure e teorema di Fubini.	Testo 2: cap. 8
MODULO 2
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Misure con densità. Teorema di Radon-Nikodym	Testo 1: cap. 17
2	Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali.	Testo 1: cap. 18
3	Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue.	Testo 4: cap. 5
4	Spazi con seminorme. Spazi normati.	Testo 3: capp. 1 e 2
5	Trasformazioni lineari.	Testo 3: cap. 3
6	Il teorema di Hahn-Banach.	Testo 3: cap. 4, nn. 1, 2 e 4
7	Separazione di insiemi convessi.	Testo 3, cap. 5
8	Topologia debole e debole*.	Testo 3: cap. 8, nn. 1,2
9	Spazi di Hilbert	Testo 3: cap. 13, nn. 1-6
10	Trasformata di Fourier	Testo 2: cap. 9

Verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

MODULO 1
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.

Al termine del corso è prevista una prova orale finale.

Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

(Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.)
MODULO 2
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.

Al termine del corso è prevista una prova orale finale.

Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

(Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.)

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

MODULO 1
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.
MODULO 2
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.

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