MEASURE AND INTEGRATION

MAT/05 - 6 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

ALFONSO VILLANI


Obiettivi formativi

Il corso si propone di fare apprendere le tecniche più usuali ed i principali teoremi nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter seguire corsi più avanzati.

In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

1) Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.

3) Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta e delle sue applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli propri della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta a situazioni teoriche e/o concrete.

4) Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.

5) Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti di Teoria della Misura non precedentemente approfonditi.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e di Topologia.



Frequenza lezioni

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.



Contenuti del corso

La misura di Lebesgue. Misure, misure esterne e teorema di Carathéodory. Boreliani di uno spazio topologico. Misure di Borel e funzioni di distribuzione. Completamento di uno spazio di misura. Funzioni misurabili. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. Misure con segno. Integrazione in uno spazio di misura. Spazi L^p. Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. Prodotto di misure; teoremi di Tonelli e di Fubini.



Testi di riferimento

1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line

2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill


Altro materiale didattico

Si veda http://www.dmi.unict.it/~villani/



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1La retta reale estesa: ordinamento e topologiaTesto 1: cap. 1 
2Successioni di insiemi.Testo 1: cap. 3 
3La misura di Lebesgue.Testo 1: cap. 4 
4Misure, misure esterne e teorema di Caratheodory.Testo 1: cap. 5 
5Boreliani di uno spazio topologico.Testo 1: cap. 6 
6Misure di Borel e funzioni di distribuzione.Testo 1: cap. 7 
7Completamento di uno spazio di misura.Testo 1: cap. 8 
8Funzioni misurabili.Testo 1: capp. 9 e 12 
9Misure con segno.Testo 1: cap 11 
10Insiemi non misurabili secondo Lebesgue e insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani.Testo 1: cap. 10 
11Intrgrazione in uno spazio di misura.Testo 1: cap. 13 
12Spazi L^p. Testo 1: capp. 15 e 19 
13Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili.Testo 1: cap 16 
14Prodotto di misure e teorema di Fubini. Testo 2: cap. 8 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.

Al termine del corso è prevista una prova orale finale.

Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

(Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.)


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.




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