TEORIA DI GALOIS E TEORIA DEI CAMPI

L'obiettivo del corso è duplice: in primo luogo presentare la teoria di Galois che ha un ruolo storico-culturale molto importante per un matematico. In secondo luogo, far progredire gli studenti nella comprensione dell'algebra e dei suoi metodi; in particolare, gli studenti affronteranno dimostrazioni profonde, in cui entrano in gioco tutte le nozioni (apparentemente distinte) studiate nel corso di Algebra al primo anno e, attraverso le esercitazioni in classe, gli studenti impareranno a utilizzare i concetti imparati e a sviluppare ragionamenti di tipo astratto.

In particolare, il corso si propone di fa acquisire agli studenti le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali della Teoria di Galois; sviluppare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati algebrici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi; costruire dimostrazioni rigorose; risolvere problemi della Teoria di Galois che richiedono un pensiero originale; essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli;

Autonomia di giudizio (making judgements): acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema algebrico; essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative (communication skills): saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni, nonché le conoscenze e la ratio ad esse sottese; sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile.

Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato un maggior grado di autonomia nello studio.

L'insegnamento verrà svolto alla lavagna in modo tradizionale. Vengono svolte periodicamente esercitazioni per migliorare l'apprendimento della materia. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere
introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

I corsi di base di Algebra e Geometria.

Fortemente consigliata

Il corso presenta la teoria di base degli ampliamenti di campi (ampliamenti finiti, finitamente generati, algebrici, separabili, normali) e, successivamente, la teoria di Galois. Inoltre vengono date alcune applicazioni della teoria di Galois, come il teorema fondamentale dell'algebra, le costruzioni con riga e compasso e la risolubilità/non risolubilità delle equazioni polinomiali.

I parte: ampliamenti di campi.

Campi e caratteristica; ampliamenti finiti; elementi algebrici e trascendenti; ampliamenti algebrici; ampliamenti finitamente generati; campo di spezzamento di un polinomio; chiusura algebrica di un campo; campi finiti; ampliamenti separabili; polinomi simmetrici; ampliamenti normali.

II parte: teoria di Galois.

Isomorfismi e automorfismi di campi; estensioni di isomorfismi; gruppo di Galois di un ampliamento; ampliamenti di Galois; teorema fondamentale della teoria di Galois.

III parte: applicazioni.

Teorema fondamentale dell'algebra; ampliamenti ciclotomici; costruzioni con riga e compasso; gruppi risolubili; norma traccia e discriminante; ampliamenti ciclici; teorema di Abel-Ruffini; formule risolutive delle equazioni di terzo grado.

1) S. Gabelli, Teoria delle equazioni e teoria di Galois, Spinger, 2008

2) note del docente.

Esercizi e complementi saranno resi disponibili su Studium e/o nella pagina web del corso.

Durante il corso verranno assegnati degli esercizi per casa. Gli allievi saranno invitati a risolverli alla lavagna. La capacità di argomentare le questioni svolte dagli allievi alla lavagna permetteranno al docente di verificare il livello di comprensione della materia. Potranno essere programmate delle prove di valutazione "in itinere". Al termine del corso è prevista una prova scritta e/o orale (che può contemplare anche la discussione di esempi e di esercizi teorici). La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Non esiste un prototipo di esercizio di Teoria di Galois (e dunque non è possibile descrivere esplicitamente tipologie di problemi). Durante il corso saranno resi disponibili su Studium i testi degli esercizi assegnati per casa. Le domande su un tema teorico sono strutturate come segue: introdurre un argomento (anche dal punto di vista storico), illustrare le principali nozioni e i risultati ad esso relativi (comprese le dimostrazioni più significative), esibire esempi e controesempi.