GEOMETRIA DIFFERENZIALE

MAT/03 - 6 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

SANTI DOMENICO SPADARO


Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è di fornire gli elementi della teoria delle varietà differenziabili e della teoria dei gruppi e algebre di Lie. Il corso si propone inoltre di affinare l’abilità di astrazione dello studente, e di allenare la sua capacità di risolvere problemi.

In particolare, corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e tecniche fondamentali della teoria delle varietà differenziabili. Capacità di leggere, comprendere un argomento della letteratura sulle varietà differenziabili e riproporlo in maniera chiara e accurata. Capacità di comprendere l’enunciato di un problema e di estrarne gli elementi essenziali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di risolvere esercizi e problemi di geometria differenziale, individuando le tecniche più adeguate. Essere in grado di mostrare che ogni ipotesi di un teorema è essenziale, tramite la costruzione di esempi e controesempi.

Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di argomentare la correttezza e completezza della dimostrazione di un enunciato. Essere in grado di proporre una strategia risolutiva per un problema di geometria differenziale.

Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare in maniera chiara e accurata la risoluzione di un problema matematico e di motivare adeguatamente le tecniche impiegate nella sua risoluzione.

Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento di geometria differenziale. Essere in grado di proseguire nello studio di argomenti più specializzati di geometria differenziale al termine del corso.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Il corso consiste di lezioni frontali e esercitazioni. Periodicamente verranno pubblicati sul sito del corso dei problemi riguardanti il materiale svolto. Gli studenti potranno discutere in gruppo o col docente tali problemi, ma ciascuno dovrà preparare autonomamente le propria soluzione. Gli studenti verranno poi chiamati alla lavagna a presentare le loro soluzioni. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

Conoscenza degli elementi della topologia generale, dell’algebra lineare, della teoria dei gruppi e del calcolo differenziale delle funzioni a una e più variabili.



Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.



Contenuti del corso

  1. Varietà differenziabili.
  2. Lo spazio tangente e il differenziale.
  3. Sottovarietà regolari e immerse.
  4. Elementi sui gruppi di Lie.
  5. Il Teorema di Sard.
  6. Il Teorema di Whitney.
  7. Campi vettoriali.
  8. Elementi sulle algebre di Lie.


Testi di riferimento

  1. Loring W. Tu, "An Introduction to Manifolds", Universitext, Springer.
  2. John M. Lee, "An Introduction to Smooth Manifolds", Graduate Texts in Mathematics, Springer.


Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Varietà Differenziabili1. Capitolo 2 - 2. Capitolo 1. 
2Funzioni differenziabili.1. Capitolo 2 - 2. Capitolo 2. 
3Lo spazio tangente e il differenziale.1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 3. 
4Sommersioni, immersioni ed embedding.1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 4. 
5Sottovarietà regolari e immerse. 1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 5. 
6Elementi sui Gruppi di Lie. 1. Capitolo 4 - 2. Capitolo 7. 
7Il Teorema di Sard e applicazioni.2. Capitolo 6 
8Il Teorema di Whitney2. Capitolo 6 
9Campi vettoriali. 1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 8. 
10L'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie1. Capitolo 4 - 2. Capitolo 8. 
11La mappa esponenziale2. Capitolo 20 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'esame finale è composto da una prova orale. Durante lo svolgimento del corso gli studenti verranno invitati a presentare alla lavagna le loro soluzioni dei problemi proposti. La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Le domande potranno riguardare tutti gli argomenti svolti durante il corso.




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