COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

MAT/05 - 6 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

SALVATORE ANGELO MARANO

Obiettivi formativi

1) Conoscere le proprietà elementari delle funzioni olomorfe e le principali applicazioni, con particolare attenzione al teorema dei residui. 2) Conoscere i teoremi di base sugli sviluppi in serie di Fourier. 3) Saper calcolare la trasformata di Fourier e quella di Laplace di semplici funzioni.

Prerequisiti richiesti

Conoscenza degli argomenti di base di Analisi Matematica I e II.

Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

1. Funzioni periodiche, continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppi in serie di Fourier. Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, integrazione termine a termine. Calcolo delle somme di serie numeriche convergenti.

2. Derivazione e integrazione nel campo complesso. Formule di Cauchy, teorema di Liouville, dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra. Teorema di Hermite. Teorema di Laurent sulla sviluppabilità in serie bilatere di potenze. Punti singolari isolati, classificazione e caratterizzazioni. Calcolo dei residui nei poli, teorema dei residui e sue applicazioni.

3. Trasformazione di Fourier. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate delle funzioni rect(x), exp(-ax²) ed exp(-a|x|) con a>0, 1/(1+x²). Derivata e trasformata. Convoluzioni e loro trasformate. Formule di inversione.

4. Trasformazione di Laplace. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate delle funzioni H(t), sin(ωt), cos(ωt), [t]. Trasformate delle funzioni periodiche. Derivata e trasformata, teorema del valore finale. Convoluzioni e loro trasformate. Formula di inversione. Applicazioni ai sistemi di equazioni differenziali lineari e a coefficienti costanti.

5. Cenni sulle distribuzioni. Spazio delle funzioni test. Distribuzioni. Spazio L¹_loc(R). Distribuzioni funzioni. La distribuzione delta di Dirac. Successioni di distribuzioni. Operazioni. Derivata di una distribuzione. Casi particolari notevoli.

Testi di riferimento

1) N. FUSCO - P. MARCELLINI - C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori, Napoli, 2001.

2) G. DI FAZIO - M. FRASCA, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi, Bologna, 2003.

3) G. C. BAROZZI, Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli, Bologna, 2003.

Altro materiale didattico

Si rinvia a Studium.

Programmazione del corso

	*	Argomenti	Riferimenti testi
1	*	Serie di Fourier.	1)
2	*	Il teorema dei residui.	2) e 3)
3	*	Trasformate di Fourier e di Laplace.	2) e 3)
4	*	Spazio delle funzioni test. Distribuzioni funzioni. La distribuzione delta.	3)

* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.

Verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Prova scritta (nel caso in cui non si sono superate le prove in itinere) e colloquio orale.

PROVE IN ITINERE

Una a metà corso e una alla fine. Si richiede lo svolgimento di tre o quattro esercizi inerenti gli argomenti trattati. A ciascun esercizio viene dato un punteggio in trentesimi. La prova ha esito positivo se il punteggio conseguito è di almeno 18/30. Ciascuna prova scritta è seguita da un colloquio orale.

PROVE DI FINE CORSO

Si richiede lo svolgimento di tre o quattro esercizi inerenti gli argomenti trattati. A ciascun esercizio viene dato un punteggio in trentesimi. La prova ha esito positivo se il punteggio conseguito è di almeno 18/30. Segue un colloquio orale.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Si rinvia a Studium.

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