MATEMATICA II M - Z

MAT/05 - 6 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

DANILA SANDRA MOSCHETTO


Obiettivi formativi

Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, gli integrali per funzioni di una e di più variabili reali, le serie numeriche e di funzioni, le equazioni differenziali ed il calcolo differenziale per funzioni reali di due variabili reali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements):

lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le proprie capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.

Abilità comunicative (communication skills):

studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza argomenti di natura scientifica, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills):

gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali corredate da esercitazioni

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

Conoscenza solida dei contenuti acquisiti nel corso di Matematica I



Frequenza lezioni

Fortemente consigliata



Contenuti del corso

Calcolo integrale per funzioni di una sola variabile

Integrale indefinito e sue proprietà - Metodi di integrazione: integrazione per decomposizione e somma, integrazione di funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione – Definizione di integrale secondo Riemann e sue proprietà – Alcune classi di funzioni integrabili - Integrali definiti - Cenni di teoria della misura di Peano-Jordan - Significato geometrico dell’integrale di Riemann – Teorema fondamentale del calcolo integrale – Cenni sugli integrali generalizzati e impropri e loro proprietà.

Serie numeriche e serie di funzioni

Serie numeriche - Teoremi generali sulle serie numeriche – Vari esempi di serie - Criteri di convergenza delle serie a termini di segno costante – Serie assolutamente convergenti - Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz - Serie di funzioni – Convergenza puntuale, uniforme e totale - Serie di Taylor e di Mac Laurin – Sviluppo di Mac Laurin di alcune funzioni elementari.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di due o più variabili

Richiami di topologia nel piano: punti interni, punti esterni e punti di frontiera, insiemi aperti e insiemi chiusi, punti di accumulazione e punti isolati, insiemi limitati, insiemi compatti, insiemi convessi, insiemi connessi per archi, dominio - Funzioni di più variabili: limiti e continuità - Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivata parziale e direzionale – Differenziale e funzioni differenziabili – Derivate di ordine superiore e lemma di Schwartz – Operatori differenziali: gradiente, divergenza, rotore, laplaciano – Teorema di derivazione delle funzioni composte -Teorema di Lagrange in R2 e caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in una regione – Estremi liberi e di una funzione di due variabili e teoremi relativi - Ricerca degli estremi assoluti su un insieme compatto - Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi e tripli secondo Riemann – Cambiamento di variabili – Formule di riduzione: Teorema di Fubini – Integrali dipendenti da un parametro: regola di Leibinz.

Equazioni differenziali ordinarie

Generalità sulle equazioni differenziali – Il problema di Cauchy – Equazioni differenziali del primo ordine – Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili – Teorema di Cauchy sull’esistenza ed unicità della soluzione – Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti – Applicazioni allo studio di oscillazioni libere, smorzate e forzate.



Testi di riferimento

Alcuni testi consigliati :

- G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica uno e due, ed. Monduzzi

- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Analisi Matematica 1 e 2, ed. Zanichelli

- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1 e 2, ed. Zanichelli



Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'apprendimento medio degli studenti verrà valutato periodicamente tramite esercitazioni guidate in

aula. L'esame finale consiste di una prova scritta e di un colloquio. Al colloquio si accede una volta

superata la prova scritta. Sia la prova scritta che il colloquio verranno valutati in trentesimi. La

valutazione della prova scritta incide parzialmente sulla formulazione del voto finale. La registrazione

dell'esame avrà luogo solo dopo il superamento del colloquio.

 

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Integrale indefinito e integrale definito; teoremi principali del calcolo integrale; equazioni differenziali

ordinarie del primo e del secondo ordine; derivate parziali; differenziabilità; estremi relativi e assoluti per

funzioni reali di due variabili reali; integrali doppi; cambiamenti di variabili negli integrali doppi.




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