ISTITUZIONI DI ANALISI NUMERICA

12 CFU - 1° e 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

SEBASTIANO BOSCARINO

Obiettivi formativi

MODULO I
L'obiettivo del primo modulo è quello di introdurre lo studente alle problematiche computazionali legate alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e di fornirgli gli strumenti necessari per la
loro risoluzione numerica. In particolare gli studenti vengono esposti alle fondamentali nozioni di consistenza, stabilità e convergenza dei vari metodi numerici presentati durante il corso, nonché a questioni pratiche che riguardano la loro accuratezza ed efficienza. Particolare enfasi viene data allo sviluppo di codici di calcolo utilizzando il linguaggio Matlab.
MODULO II
Obiettivo primario del corso di METODI NUMERICI PER EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI è quello di fornire una introduzione ai metodi per la risoluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali, con particolare riferimento alle equazioni Fisica Matematica: equazioni paraboliche, ellittiche ed iperboliche. Gli studenti vengono esposti alle fondamentali nozioni di consistenza, stabilità e convergenza dei metodi, nonché a questioni pratiche che riguardano la loro accuratezza, efficienza e robustezza. Per completezza, durante il corso vengono richiamate le principali proprietà matematiche di tali equazioni, ed alcune loro applicazioni principali alla descrizione di fenomeni stazionari e dipendenti dal tempo. Naturale continuazione dei primo modulo esso è indicato per chi ha interessi per le applicazioni della matematica a una grande varietà di modelli del mondo reale. Chi volesse approfondire gli argomenti trattati nel corso potrà poi seguire il corso di Fluidodinamica Computazionale, al secondo anno della Magistrale, dedicato alle tecniche per la soluzione numerica delle equazioni di Eulero e Navier-Stokes che governano il moto di fluidi e gas.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

MODULO I
Il corso di Analisi Numerica si svolgerà principalmente attraverso lezioni frontali. La trattazione teorica dei vari argomenti sarà accompagnata da esercitazioni con il calcolatore in cui verranno affrontati problemi di tipo applicativo in modo da consolidare l'apprendimento dei vari argomenti sviluppati in aula. L’implementazione dei vari metodi numerici presentati durante il corso avverrà attraverso l'uso del linguaggio Matlab.
MODULO II
Il corso consiste in lezioni frontali, durante le quali vengono illustrati i vari argomenti. Verranno effettuate esercitazioni pratiche con implementazione al calcolatore dei principali metodi spiegati a lezione. L'esame consiste in un colloquio orale.

Prerequisiti richiesti

MODULO I
Si assume la conoscenza di nozioni di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale, nozioni di programmazione e conoscenza del linguaggio MATLAB, nozioni di calcolo numerico.
MODULO II
Propedeuticità: nessuna; si assume la conoscenza di nozioni di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale, nozioni di programmazione e conoscenza di un linguaggio di programmazione adatto al calcolo scientifico, come Matlab o Python, nonché nozioni di calcolo numerico.

Frequenza lezioni

MODULO I
Modulo 1: CFU 6; Ore: 48 (didattica frontale ed esercitazioni);

La frequenza delle lezioni, per quanto non obbligatoria per il superamento dell'esame, è tuttavia fortemente consigliata.
MODULO II
6 CFU, 48 ore di didattica frontale. La frequenza delle lezioni, per quanto non obbligatoria per il superamento dell'esame, è tuttavia fortemente consigliata.

Contenuti del corso

MODULO I

Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali ordinarie, EDOs, (esistenza,unicità e dipendenza continua dai dati).

Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero (esplicito ed implicito), metodo di Eulero Modificato, metodo di Heun; metodi a un passo; esempi: metodi basati su sviluppo in serie di Taylor, metodi Runge-Kutta (RK). Convergenza e condizioni sull'ordine. Errore di discretizzazione; ordine di un metodo a un passo; convergenza; teorema di consistenza; metodi Runge-Kutta in generale; formalismo di Butcher; condizioni sull'ordine; metodi impliciti; esistenza della soluzione numerica per metodi Runge-Kutta impliciti. Metodi di collocazione, aspetti implementativi: controllo del passo.

Metodi Multistep, metodi di Adams e BDF, metodi LMM, metodi predictor-corrector, 0-stabilita' e convergenza dei metodi multistep. Stabilità. Problemi dissipativi e stabilità; problemi stiff; A- stabilità; definizioni più generali di stabilità.

Equazioni differenziali algebriche (EDAs). Forme speciali di EDAs. Metodi numerici per la risoluzione di EDAs. Metodi Runge Kutta partizionati ed addititivi, Metodi Runge Kutta espliciti-impliciti e problemi di singola perturbazione.

Problemi ai limiti. Problemi ai limiti teoria ed applicazioni, metodo shooting e multiplo, metodo alle differenze finite.

Durante il corso verranno presentati alcuni Toolbox presenti nel software Matlab per la risoluzione di EDOs.
MODULO II
Richiami di modelli retti da equazioni alle derivate parziali: equazioni di Poisson, del calore e delle onde. Richiami di buona positura del problemi per le equazioni differenziali della Fisica Matematica. Equazione del calore. Richiami su alcuni procedimenti per ottenere soluzioni esatte in casi particolari: metodo di Fourier e di separazione delle variabili. Metodo di Eulero in avanti. Analisi della stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero all'indietro e di Crank-Nicholson. Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore con coefficienti variabili. Consistenza, convergenza e stabilità dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema di equivalenza di Lax (enunciato). Equazione del calore in più dimensioni. Metodi a passi frazionari. Metodi Alternate Direction Implicit (ADI). Equazioni ellittiche. Metodo alle differenze finite per l’equazione di Poisson su griglie Cartesiane. Discretizzazione di tipo vertex-center e cell-center. Il problema delle condizioni al contorno (condizioni di Dirichlet e di Neumann) Metodi di tipo level set e ghost point per il trattamento di geometrie arbitrarie. Medoto Multigrid per la risoluzione del relativo sistema algebrico sparso (cenni). Equazioni iperboliche. Singola equazione scalare lineare. Il metodo delle caratteristiche. Metodi alle differenze finite. I metodi a tre punti: upwind, Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff. Consistenza e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di dipendenza dai dati. Metodi del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione e dispersione. Equazione di Burgers. Medoto delle caratteristiche. Soluzioni discontinue. Oltre agli argomenti sopra elencati, durante il corso si svolgeranno esercitazioni in Matlab o in Python (utilizzando numpy) che illustrano l'implementazione di alcuni metodi di base.

Testi di riferimento

MODULO I
1) G. Naldi, L. Pareschi, G. Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Testo semplice ed intuitivo. Capitolo 8 è dedicato ai metodi per la risoluzione di ODE.

2) A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Matematica Numerica, Springer Italia, 3° Edizione.
Testo molto ampio e ricco di esempi. Contiene molto materiale e riporta esempi didattici implementati in matlab.

3)V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.
Classico testo di Analilsi Numerica, molto vasto. Contiene molto materiale. Utile strumento di consultazione per alcuni argomenti (es. differenze finite o introduzione ai metodi variazioniali).

4) U. M. Asher e L. R. Petzol, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential_Algebraic Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA, 1998. Testo utilizzato per la parte riguardante le equazioni differenziali-algebriche.

5) J. Stoer e R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis. Ed. Springer Verlag.

6) Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Syvert P. Nørsett, Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. Third edition, Springer, 2008.

7) Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations. I. Stiff problems. Third edition, Springer, 2010.
MODULO II
--Randall Le Veque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM 2007.

Un singolo libro per la trattazione di metodi alle differenze finite sia per equazioni differenzialo ordinarie che alle derivate parziali. Alcuni argomenti sulle EDP sono tratti da questo testo.

--John Strickwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations Paperback – September 30, 2007.

Ottimo testo introduttivo sui metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali.

Altro materiale didattico

MODULO I
Oltre ai Libri sopra elencati, vengono fornite delle dispense da parte del docente sugli argomenti del corso.

Queste dispense vengono messe a disposizione da parte del docente agli studenti del corso utilizzando una cartella condivisa sul cloud storage Dropbox.
MODULO II
Oltre ai Libri sopra elencati, si consigla come ulteriore materiale didattico anche i seguenti libri:

--Robert D. Richtmyer, K. W. Morton, Difference methods for initial-value problems, Interscience Publishers, 1967 - 405 pages

Un classico testo, ancora validissimo per molti concetti di base

--K. W. Morton and D. F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction, University of Oxford, UK, Second Edition

Una introduzione ai metodi numerici (principalmente alle differenze finite) per le equazioni differenziali della fisica matematica.

Programmazione del corso

MODULO I
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Metodi Runge-Kutta per ODEs	Testi di riferimento: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
2	Metodi di collocazione per ODEs	Testi di riferimento: 4) 5) 6) 7)
3	Metodi Multistep per ODEs	Testi di riferimento: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
4	Equazioni differenziali algebriche (DAEs)	Testi di riferimento: 4) 7)
5	Problemi ai limiti	Testi di riferimento: 3) 4)
MODULO II
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Richiami di modelli retti da equazioni alle derivate parziali: equazioni di Poisson, del calore e delle onde.
2	Richiami di buona positura del problemi per le equazioni differenziali della Fisica Matematica.
3	Equazione del calore. Richiami su alcuni procedimenti per ottenere soluzioni esatte in casi particolari: metodo di Fourier e di separazione delle variabili.
4	Metodo di Eulero in avanti. Analisi della stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero all'indietro e di Crank-Nicholson.
5	Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore con coefficienti variabili.
6	Consistenza, convergenza e stabilità dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema di equivalenza di Lax (enunciato).
7	Equazione del calore in più dimensioni. Metodi a passi frazionari. Metodi Alternate Direction Implicit (ADI).
8	Equazioni ellittiche. Richiami di teoria
9	Metodo alle differenze finite per l’equazione di Poisson su griglie Cartesiane. Discretizzazione di tipo vertex-center e cell-center.
10	Il problema delle condizioni al contorno (condizioni di Dirichlet e di Neumann)
11	Metodi di tipo level set e ghost point per il trattamento di geometrie arbitrarie.
12	Medoto Multigrid per la risoluzione del relativo sistema algebrico sparso (cenni).
13	Equazioni iperboliche. Singola equazione scalare lineare. Il metodo delle caratteristiche.
14	Metodi alle differenze finite. I metodi a tre punti: upwind, Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff
15	Consistenza e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di dipendenza dai dati.
16	Metodi del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione e dispersione.
17	Equazione di Burgers. Medoto delle caratteristiche. Soluzioni discontinue

Verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

MODULO I
E' prevista una prova in itinere. Tale prova consiste nel superamento del I modulo di: "Metodi Numerici per Equazoni Differenziali Ordinarie".

L’esame consiste di una prova orale per ciascun modulo oppure di una prova orale unica per entrambi i moduli, a scelta dello studente.

L'esame del I modulo viene verbalizzato insieme all'esame del II modulo "Metodi Numerici per l'equazioni alle derivate parziali" come un solo esame da 12 crediti.
MODULO II
L'esame viene verbalizzato insieme al modulo I di Analisi Numerica come un solo esame da 12 crediti. Ciascun modulo consiste in un colloquio orale effettuato dopo la fine di ciascun corso. La prova in itinere del corso da 12 crediti consiste nel superamento del modulo di Metodi Numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie. È a discrezione dello studente sostenere i due moduli insieme o separatamente.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

MODULO I
Teorema di convergenza per il metodo di Eulero.

Discutere della stabilità dei metodi Runge-Kutta.
MODULO II
- Mi dimostri consistenza e stabilità del metodo Alternate Direction Implicit - Come si impongono le condizioni al contorno nel metodo alle differenze finite per l'equzione di Poisson? - Quel'è l'equazione modificata del metodo upwind per l'equazione di trasporto scalade in una dimensione spaziale?

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