ISTITUZIONI GEOMETRIA SUPERIORE

12 CFU - 1° e 2° semestre

ANGELO BELLA - MODULO 1 - MAT/03 - 6 CFU
SANTI DOMENICO SPADARO - MODULO 2 - MAT/03 - 6 CFU

Obiettivi formativi

MODULO 1
Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Una parte del corso fornisce gli strumenti di Teoria degli Insiemi che verranno poi applicati ad alcuni argomenti di Topologia Generale.
MODULO 2
La Geometria Differenziale studia oggetti geometrici quali curve, superfici e varietà utilizzando gli strumenti tipici dell’Analisi Matematica. Il corso si propone di introdurre gli elementi della teoria delle varietà differenziabili sia nei suoi aspetti globali che locali. Verranno inoltre studiate le varietà Riemanniane, concentrandosi in particolare su curve e superfici nello spazio.

MODULO 1
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
MODULO 2
Gli argomenti verranno presentati in lezioni frontali e contemporaneamente verranno proposti dei set di esercizi. Gli studenti potranno essere invitati a presentare le loro soluzioni di alcuni esercizi alla lavagna.

MODULO 1
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
MODULO 2
Analisi 1 e 2. Geometria 1. Topologia Generale. Utile, ma non obbligatoria, Geometria 2, specialmente la parte di algebra multilineare.

MODULO 1
Introduzione alla Teoria degli Insiemi. Numeri ordinali e cardinali. Filtri e Ultrafiltri. Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Complementi di Topologia Generale.
MODULO 2
Il programma di massima sarà il seguente:
1. Richiami di topologia generale e algebra multilineare.
2. Varietà topologiche e differenziabili.
3. Spazio tangente e campi di vettori.
4. Tensori nello spazio tangente, campi di tensori.
5. Derivata esterna.
6. Curve nello spazio, lunghezza d’arco, curvatura, torsione.
7. Superfici parametriche, I e II forma fondamentale, curvatura gaussiana e teorema Egregium, geodetiche.
8. Connessioni lineari e varietà Riemanniane.

MODULO 1
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
MODULO 2
Non c’è un libro di testo, ma potrà essere utile agli studenti la consultazione dei seguenti testi:
1. M. Abate, F. Tovena, “Geometria Differenziale”, Springer Italia, Milano, 2011.
2. Loring W. Tu, “An introduction to Manifolds”, Springer-Verlag, New York, 2011.
3. M. Abate, F. Tovena, “Curve e Superfici”, Springer Italia, Milano, 2006.
4. W. Boothby, “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry”, Academic Press, 1986.

MODULO 1
Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.
MODULO 2
I set di esercizi verranno pubblicati nella pagina del docente: http://www.santispadaro.com

MODULO 1
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Gli assiomi della teoria degli insiemi. Buon ordinamenti.	1
2	I numeri ordinali e la loro relazione con i buon ordinamenti.	1
3	Equipotenza e cardinalita'. I numeri cardinali e la loro aritmetica.	1
4	La nozione di cofinalita' di un cardinale. Cardinali regolari e teorema di Koenig.	1
5	L'ipotesi del continuo.	1
6	Cardinali misurabili.	1
7	Applicazioni dell'induzione transfinita.	1
8	Filtri e ultrafiltri. Il numero degli ultrafiltri liberi su un insieme.	1
9	Ultrafiltri speciali sugli interi. Esistenza di ultrafiltri selettivi.	1
10	Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Proprieta' della compattificazione di Cech-Stone.	1
11	Applicazioni alla numerabile e alla sequenziale compattezza.	1
12	Lo spazio topologico degli ultrafiltri liberi sugli interi. Il teorema di non omogeneita' di Rudin.	1
MODULO 2
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Richiami di algebra multilineare.	1
2	Varietà topologiche e differenziabili.	1
3	Spazio tangente e campi di vettori.	1
4	Tensori nello spazio tangente, campi di tensori.	1
5	La derivata esterna.	1
6	Curve nello spazio, lunghezza d’arco, curvatura, torsione.	3
7	Superfici parametriche, I e II forma fondamentale, curvatura gaussiana e teorema Egregium, geodetiche.	3
8	Connessioni lineari e varietà Riemanniane.	4

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

MODULO 1
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
MODULO 2
L’esame è composto da una prova orale, in cui potrà eventualmente essere chiesto lo svolgimento di un esercizio.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

MODULO 1
Definizione di ordinale e sue proprieta'.

La nozione di ultrafiltro.
MODULO 2
Le domande d'esame potranno riguardara tutti gli argomenti del corso.

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