ALGEBRA SUPERIORE

Approfondimento di tematiche relative alla teoria degli anelli commutativi e ai loro moduli, con applicazioni di metodi topologici alla Teoria Moltiplicativa degli Ideali. Fra gli obiettivi del corso si menzionano il potenziamento della capacità di astrazione e il raggiungimento della consapevolezza, da parte dell'allievo, che un solido background teorico permette efficaci applicazioni.

Il corso si propone di fare acquisire agli allievi le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): conoscenza e padronanza dei principali risultati della teoria degli anelli commutativi e dei loro moduli, ottenuti con metodi algebrici e topologici. Capacità di leggere, comprendere ed esporre un articolo scientifico concernente tematiche di Algebra Commutativa e Topologia Generale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): capacità di costruire esempi e controesempi per questioni di carattere teorico. Capacità di applicare i metodi algebrici e topologici oggetto del corso, scegliendo quelli più opportuni ed adattandoli nell'affrontare questioni nuove.

Autonomia di giudizio (making judgements): capacità di esibire strategie risolutive e di intepretare correttamente problematiche nel contesto dell'Algebra Commutativa. Capacità di saper discutere l'applicabilità di modelli algebrici e topologici a problematiche teoriche o concrete.

Abilità comunicative (communication skills): capacità di presentare questioni di algebra e loro soluzioni con chiarezza ed eleganza. Capacità di discutere la scelta delle strategie risolutive e degli strumenti, eventualmente computazionali, adottati. Attività seminariale.

Capacità di apprendimento (learning skills): lettura e approfondimento di problematiche relative ad applicazioni della Topologia Generale all'Algebra Commutativa. Studio autonomo di articoli su tematiche non precedentemente approfondite.

Lezioni ed esercitazioni frontali. Esercitazioni in classe. Gli esempi e gli esercizi proposti dal docente si alternano alla trattazione della parte teorica (anche nella stessa lezione). In occasione delle esercitazioni in classe, il docente propone delle questioni che gli allievi potranno affrontare singolarmente o lavorando in piccoli gruppi; il docente stimola gli studenti con suggerimenti e osservazioni. Tali esercitazioni accrescono la capacità degli allievi sia a lavorare autonomamente che ad interagire fra loro.

Algebra Commutativa e il corso di Topologia Generale erogato nella Laurea triennale.

Fortemente consigliata.

I. Moduli. Moduli liberi, piatti, iniettivi e proiettivi. Esempi ed esercizi.

II. Anelli topologici. Topologie su un anello. Completamenti. Lemma di Hensel. Esempi ed esercizi.

III. Lo spettro primo di un anello. Topologia di Zariski, topologia costruibile, topologia inversa. Proprietà topologiche dello spettro primo di un anello. Esempi ed esercizi.

IV. Spazi spettrali. Caratterizzazione topologica degli spazi omeomorfi allo spettro primo di un anello. Esempi ed esercizi.

V. Introduzione alla Teoria Moltiplicativa degli Ideali. Ideali invertibili. Domini di Dedekind. Domini di Prufer. Esempi ed esercizi.

VI. Spazi di Riemann-Zariski. La topologia di Zariski su spazi di domini di valutazione. Gli spazi di Riemann-Zariski sono spettrali. Esempi ed esercizi.

1. R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory. M. Dekker (1972).

2. A. Grothendiek, Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 4 (1960).

3. I. Kaplansky, Commutative Rings. Allyn and Bacon, Inc. (1970).

4. L. Salce, L. Fuchs, Modules over Non-Noetherian Domains. Mathematical Surveys and Monographs AMS (2000).

5. O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, Volume II. Graduate Texts in Mathematics (1976).

6. Note del docente.

M.F. Atiyah, I.G. Macdonald , Introduzione all' algebra commutativa, Feltrinelli 1981.

Durante il corso verranno assegnati degli esercizi per casa. Gli allievi saranno invitati a risolverli alla lavagna. La capacità di argomentare le questioni svolte dagli allievi alla lavagna permetteranno al docente di verificare il livello di comprensione della materia. Potranno essere programmate delle prove di valutazione "in itinere". Al termine del corso è prevista una prova scritta e/o orale (che può contemplare anche la discussione di esempi e di esercizi teorici).

Non esiste un prototipo di esercizio di Algebra Commutativa (e dunque non è possibile descrivere esplicitamente tipologie di problemi). Durante il corso saranno resi disponibili su Studium i testi degli esercizi assegnati per casa. Le domande su un tema teorico sono strutturate come segue: introdurre un argomento (anche dal punto di vista storico), illustrare le principali nozioni e i risultati ad esso relativi (comprese le dimostrazioni più significative), esibire esempi e controesempi.