Corso di laurea magistrale in Matematica
Anno accademico 2019/2020 - 1° anno - Curriculum APPLICATIVO
MEASURE AND INTEGRATION
Docente titolare dell'insegnamento
ALFONSO VILLANIObiettivi formativi
Il corso si propone di fare apprendere le tecniche più usuali ed i principali teoremi nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter seguire corsi più avanzati.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.
Prerequisiti richiesti
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e di Topologia.
Frequenza lezioni
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.
Contenuti del corso
La misura di Lebesgue. Misure, misure esterne e teorema di Carathéodory. Boreliani di uno spazio topologico. Misure di Borel e funzioni di distribuzione. Completamento di uno spazio di misura. Funzioni misurabili. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. Misure con segno. Integrazione in uno spazio di misura. Spazi L^p. Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. Prodotto di misure; teoremi di Tonelli e di Fubini.
Testi di riferimento
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line
2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill
Altro materiale didattico
Si veda http://www.dmi.unict.it/~villani/
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
| 1 | La retta reale estesa: ordinamento e topologia | Testo 1: cap. 1 |
| 2 | Successioni di insiemi. | Testo 1: cap. 3 |
| 3 | La misura di Lebesgue. | Testo 1: cap. 4 |
| 4 | Misure, misure esterne e teorema di Caratheodory. | Testo 1: cap. 5 |
| 5 | Boreliani di uno spazio topologico. | Testo 1: cap. 6 |
| 6 | Misure di Borel e funzioni di distribuzione. | Testo 1: cap. 7 |
| 7 | Completamento di uno spazio di misura. | Testo 1: cap. 8 |
| 8 | Funzioni misurabili. | Testo 1: capp. 9 e 12 |
| 9 | Misure con segno. | Testo 1: cap 11 |
| 10 | Insiemi non misurabili secondo Lebesgue e insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. | Testo 1: cap. 10 |
| 11 | Intrgrazione in uno spazio di misura. | Testo 1: cap. 13 |
| 12 | Spazi L^p. | Testo 1: capp. 15 e 19 |
| 13 | Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. | Testo 1: cap 16 |
| 14 | Prodotto di misure e teorema di Fubini. | Testo 2: cap. 8 |
Verifica dell'apprendimento
MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.
Al termine del corso è prevista una prova orale finale.
Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.
ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.
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