REAL ANALISYS

MAT/05 - 6 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

ALFONSO VILLANI


Obiettivi formativi

Il corso si propone di fare apprendere alcune tecniche usuali e notevoli teoremi nell'ambito dell'Analisi Reale, nonché le nozioni fondamentali ed alcuni importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter seguire corsi più avanzati.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.


Prerequisiti richiesti

I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, di Topologia e di Measure and Integration.



Frequenza lezioni

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.



Contenuti del corso

Misure con segno con densità e teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. Funzioni a variazione limitata ed assolutamente continue. Spazi con seminorme. Spazi normati. Trasformazioni lineari. Il teorema di Hahn-Banach. Topologia debole e debole*. Spazi di Hilbert. Trasfornata di Fourier.



Testi di riferimento

1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line

2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill

3. R. Larsen, Functional Analysis, an introduction, Marcel Dekker

4. H. Royden, Real Analysis, 2nd ed., Macmillan


Altro materiale didattico

Si veda http://www.dmi.unict.it/~villani/



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Misure con densità. Teorema di Radon-NikodymTesto 1: cap. 17 
2 Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali.Testo 1: cap. 18 
3Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue.Testo 4: cap. 5 
4Spazi con seminorme. Spazi normati. Testo 3: capp. 1 e 2 
5Trasformazioni lineari. Testo 3: cap. 3 
6 Il teorema di Hahn-Banach.Testo 3: cap. 4, nn. 1, 2 e 4 
7Separazione di insiemi convessi.Testo 3, cap. 5 
8Topologia debole e debole*. Testo 3: cap. 8, nn. 1,2 
9Spazi di HilbertTesto 3: cap. 13, nn. 1-6 
10Trasformata di FourierTesto 2: cap. 9 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.

Al termine del corso è prevista una prova orale finale.

Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.




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