REAL ANALISYS

Il corso si propone di fare apprendere alcune tecniche usuali e notevoli teoremi nell'ambito dell'Analisi Reale, nonché le nozioni fondamentali ed alcuni importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter seguire corsi più avanzati.

I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.

I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, di Topologia e di Measure and Integration.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.

Misure con segno con densità e teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. Funzioni a variazione limitata ed assolutamente continue. Spazi con seminorme. Spazi normati. Trasformazioni lineari. Il teorema di Hahn-Banach. Topologia debole e debole*. Spazi di Hilbert. Trasfornata di Fourier.

1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line

2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill

3. R. Larsen, Functional Analysis, an introduction, Marcel Dekker

4. H. Royden, Real Analysis, 2nd ed., Macmillan

Si veda http://www.dmi.unict.it/~villani/

Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.

Al termine del corso è prevista una prova orale finale.

Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.

I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.