FLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE

Il corso fornisce una panoramica di alcuni metodi utilizzati nella soluzione numerica dei sistemi di equazioni che descrivono il moto dei fluidi, sia comprimibili che incomprimibili. Alcuni concetti generali (ad esempio quelli relativi ai sistemi iperbolici di leggi di conservatione, ed ai relativi metodi numerici) possono essere adoperati in un contesto ben più ampio.

L'insegnamento consiste in lezioni frontali ed esercitazioni, durante le quali verranno implementati al calcolatore alcuni dei metodi svolti a lezione.

Il corso cerca di essere quanto piu autocontenuto possibile, per essere seguito con profitto ache da chi non abbia grandi basi di metodi numerici, o da chi non abbia nozioni di gas dinamica e fluidodinamica.

È tuttavia fortemente consigliato avere una preparazione di base sui metodi numerici e sulle tecniche per la risoluzione di equazioni differenziali. Tali competenze si possono ottenere seguento i corsi di Calcolo Numerico (secondo anno triennale matematica) ed Analisi Numerica (primo anno magistrale matematica).

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.

Richiami di teoria sui sistemi iperbolici. Propagazione ondosa. Richiami sulla singola equazione scalare. Soluzioni di viscosità e condizioni di entropia. Sistemi iperbolici: lineari, semilineari e quasi-lineari. Invariati di Riemann. Condizioni di salto e condizioni di entropia. Onde semplici.

Equazioni di Eulero della gas dinamica comprimibile. Deduzione delle equazioni di Eulero. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Onde semplici in gas dinamica. Gas politropici. Gas dinamica insentropica. Problema di Riemann. Condizioni al contorno.

Metodi numerici per leggi di conservazione. Metodi ai volumi finiti. Medodi a tre punti: metodi upwind, metodo di Lax-Friedrichs e metodo di Lax-Wendroff (richiami). Metodo di Godunov e sue proprietà. La funzione di flusso numerica. Costruzione di metodi di alto ordine. Ricostruzioni di alto ordine essenzialmente non oscillatorie (ENO). Ricostruzioni WENO. Metodi alle differenze finite di tipo conservativo. Integrazione nel tempo: metodi Runge-Kutta SSP (Strongly Stability Preserving). Trattamento dei termini di sorgente. Metodi Runge-Kutta IMEX (IMplici-EXplicit) per l’integrazione temporale.

Fluidodinamica incomprimibile. Deduzione delle equazioni di Eulero e Navier-Stokes incomprimibili. Metodi alle differenze finite per equazioni di Eulero e Navier-Stokes in variabili primitive. Metodo delle proiezioni di Chorin e discretizzazione di tipo MAC (Marker and cell). Metodi di penalizzazione per problemi in domini con ostacolo. Formulazione vorticity-stream function per le equazioni di Navier-Stokes.

Equazioni di acque poco profonde. Deduzione del modello di Saint-Venant per le acque poco profonde. Analogia con la gas dinamica isentropica. Metodi ai volumi finiti ed alle differenze finite per le equazioni di SV in una e due dimensioni spaziali.

Esercitazioni pratiche. Il corso prevede delle esercitazioni nelle quali vengono mostrate le implementazioni dei principali metodi svolti a lezione. In particolare, saranno implementati e confrontati alcuni metodi per la soluzione delle equazioni di Eulero comprimibili, e delle equazioni di Navier-Stokes incompressibili.

I seguenti sono alcuni testi che trattano argomenti di CFD e che potranno essere utilizzati durante il corso.

1. John D. Anderson Jr., Computational Fluid Dynamics, the basics with applications, McGraw Series in Mechanical Engineering, 1995.
   Un classico della CFD. Scritto da un professore d’ingegneria aeronautica. Molto vicino alle applicazioni. Non particolarmente sofisticato dal punto di vista matematico. Un po’ datato.
2. Dimitris Drikakis, William Rider, High-Resolution Methods for Incompressible and Low-Speed Flows, Springer, 2005.
   Abbastanza aggiornato, presenta una descrizione semplice della formulazione matematica delle equazioni della gas dinamica.
3. Randall Le Veque- Finite Volume Methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2004.
   Specializzato sui metodi ai volumi finiti per sistemi di iperbolici di leggi di conservazione
4. Roger Peyret, Thomas D. Taylor, Computational Methods for Fluid Flows, Springer-Verlag, 1983. Testo sintetico, tratta prevalentemente temi di fluidodinamica incomprimibile. Molto avanzato quando è uscito, adesso è anch’esso piuttosto datato.
5. Pieter Wesseling, Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer Series in Computational Mathematics, 1991.
   Buon testo introduttivo. Contiene molto più materiale di quanto possa essere affrontato nel corso.

Oltre i libri sopra elencati, come ulteriore approfondimento si segnala altro material didattico:

Joel H. Ferziger, Milovan Peric, Computarional Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002.
Di orientazione prettamente numerica, molto dettagliato sugli schemi, ma piuttosto carente sugli aspetti modellistici e matematici.

Randall Le Veque - Numerical methods for conservation laws, Lecture Notes in Mathematics, ETH Zürich, Birkhaeuser, Second edition, 1999.
Eccellente per dare una trattazione matematica dei sistemi di leggi di conservazione e per alcuni dei recenti metodi numerici di tipo shock-capturing per svariati sistemi di leggi di conservazione.

G.B.Whitham, Linear and nonlinear waves, John Wiley & Sons, 1974.
Ottimo testo sui modelli matematici che descrivono fenomeni ondulatori.

Godlewski, Edwige, Raviart, Pierre-Arnaud, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws , Springer, 1996.

L'esame consiste in una prova orale dopo la fine del corso.

Come si deducono le equazioni di Eulero comprimibili della gas dinamica?

Mi parli del modello di de Saint-Venant per la descrizione di onde in acque poco profonde

Mi parli del metodo di Godunov per la soluzione numerica di sistemi di leggi di conservazione

Mi descriva alcuni metodi per la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes incomprimibili