A fine corso lo studente sapra' calcolare aree di superfici, volumi di solidi, sviluppare in serie alcune funzioni notevoli e trovare soluzioni di particolari tipi di equazioni differenziali ordinarie.
Il corso prepara allo studio delle serie di Fourier ed alle trasformate di Fourier e Laplace.
Alla fine del corso si acquisianno conscenze sia teoriche sia pratiche sui principali contenuti del corso.
Conoscenza e capacità di comprensione: Comprensione e assimilazione delle definizioni e dei principali risultati dell’analisi matematica di base, per funzioni di più variabili reali, necessari per la trattazione e modellizzazione dei problemi derivanti dalle scienze applicate.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Acquisizione di un appropriato livello di autonomia nella conoscenza teorica e nell’utilizzo degli strumenti analitici di base.
Autonomia di giudizio: Capacità di riflessione e di calcolo. Capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzione di problemi ed esercizi.
Abilità comunicative: Capacità di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato.
Capacità d’apprendimento: Capacità di approfondimento e di sviluppo delle conoscenze acquisite. Capacità di usare criticamente tabelle e strumenti analitici e informatici di calcolo simbolico.
L'insegnamento si svolge mediante lezioni frontali.
Lo studente deve almeno conoscere il concetto di limite di una funzione reale di una variabile reale e saper differenziare ed integrare una funzione reale di una variabile reale.
Almeno il 50% di presenze per l'accesso all'esame finale.
N.B.: Gli aromenti contrassegnati con un asterisco devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.
1. Successioni e Serie di Funzioni. *Successioni di funzioni reali di variabile reale. *Convergenza puntuale, convergenza uniforme. Teoremi della continuita', del passaggio al limite sotto il segno d'integrale e di derivata (solo enunciati). *Serie di funzioni. *Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuita', di integrazione per serie e di derivazione per serie (solo enunciati). *Serie di potenze nel campo reale. *Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy--Hadamard. *Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze (solo enunciati). *Serie di Taylor. *Criterio per la Sviluppabilita' in serie di Taylor. *Sviluppi in serie notevoli.
2. Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Elementi di topologia in R^2 e R^3. Insiemi limitati. Aperti connessi. *Limiti e continuita'. Teorema di Weierstrass. *Derivate parziali. Derivate successive. *Teorema di Schwartz (solo enunciato). *Gradiente. *Differenziabilita'. *Differenziabilita' e continuita'. Teorema del differenziale. *Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. *Funzioni a gradiente nullo in un connesso. *Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo.
3. Cenni sulle equazioni differenziali e metodi risolutivi di alcune di esse. Posizione del problema. *Problema di Cauchy. *Proprieta' generali delle equazioni lineari. *Equazioni differenziali lineari del primo ordine. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Caratterizzazione dell'indipendenza di due soluzioni. *Caratterizzazione dell'integrale generale delle equazioni lineari del secondo ordine omogenee. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee. *Metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Equazione di Eulero. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. *Equazione a variabili separabili, *omogenea, *di Bernoulli.
4. Integrali curvilinei e forme differenziali in R^2 e R^3. *Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. *Rettificabilita'. *Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. *Forme differenziali. *Integrale curvilineo di una forma differenziale. *Forme differenziali esatte. *Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. *Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. *Potenziale di una forma differenziale. *Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. *Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R^2 e di R^3.
5. Cenni sull'integrazione in R^2 e R^3 secondo Riemann. Domini normali di R^2. *Integrabilita' su domini normali. *Formule di riduzione per gli integrali doppi. Teorema di Fubini--Tonelli. *Formule di Gauss--Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. *Formule per il calcolo dell'area. *Cambiamento di variabili negli integrali doppi. *Domini normali rispetto a un piano. *Integrali tripli. *Cambiamento di variabili negli integrali tripli.
6. Cenni sulle serie di Fourier. Polinomio trigonometrico. Serie trigonometrica. Convergenza in L^2 di una serie di Fourier.
[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.
[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.
Il materiale didattico consiste negli appunti dettati a lezione e nei libri di testo consigliati.
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | Metodi risolutivi di equazioni differenziali ordinarie | [1], cap. 1, 12 ore |
2 | Calcolo infinitesimale per le curve | [1], cap. 2, 7 ore |
3 | Calcolo differenziale per funzioni reali di piu' variabili reali | [1], cap 3, 12 ore |
4 | Estremi liberi e vincolati di una funzione di piu' variabili | [1], capp. 3- 4, 12 ore |
5 | Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili | [1], cap. 5, 12 ore |
6 | Campi vettoriali e forme differenziali | [1], cap. 6, 12 ore |
7 | Serie di potenze e serie di Fourier | [1], cap. 7, 12 ore |
L'esame e' unico, solo scritto e suddiviso in due parti: parte pratica e parte teorica (seguente la parte pratica).
La parte pratica dell'esame consta, di norma, di due esercizi e dura 2 ore.
La parte teorica dell'esame consta, di norma, di tre quesiti e dura 1 ora.
Le due prove vengono espletate nel medesimo appello di esame.
La commissione valuta l'intero elaborato ed esprime un unico voto in trentesimi. Il voto minimo per superare l'esame e' di 18/30.
Forme differenziali (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding)
Relazione tra derivabilita' e differenziabilita' per una funzione di due variabili (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).
Estremi condizionati di una funzione (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).