ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cp - I

MAT/03 - 9 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

GIUSEPPE ZAPPALA'
Email: zappalag@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: DMI - Blocco III
Telefono: +390957383002
Orario ricevimento: Lunedì, 8-10. Venerdì, 8-10.


Obiettivi formativi

Si intende innanzitutto introdurre lo studente al linguaggio ed al rigore necessari per lo studio dei concetti essenziali inerenti l'Algebra Lineare e la Geometria Analitica: fra questi,teoria degli spazi vettoriali, il calcolo matriciale, i sistemi lineari, la diagonalizzazione di matrici, rette e piani nello spazio, coniche nel piano e quadriche nello spazio.

Lo studente alla fine del corso sarà in grado di calcolare il rango di una matrice, risolvere sistemi lineari, calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale e determinare una base, studiare applicazioni lineari tra spazi vettoriali, calcolare autovettori ed autovalori di endomorfismi, diagonalizzare una matrice, risolvere problemi problemi di geometria lineare inerenti punti, rette e piani nello spazio, di classificare e studiare coniche nel piano, di studiare fasci di coniche, di classificare quadriche nello spazio.

Lo studente affronterà vari aspetti teorici degli argomenti affrontati, affinando le capacità logiche allo scopo di utilizzare con rigore alcuni significativi metodi dimostrativi. Tali dimostrazioni saranno presentate in modo tale da cogliere ogni singolo e minimo passaggio necessario al raggiungimento dell'obiettivo. Inoltre, per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo, sia in aula, sia a casa.

Studiando l'Algebra Lineare e la Geometria e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni, lo studente apprenderà come comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che, utilizzando un linguaggio rigoroso, potrà comunicare con chiarezza i concetti scientifici, non solo in ambito matematico.

Lo studente avrà acquisito, tramite l'assimilazione di simbolismi e strumenti, le competenze necessarie per l'utilizzo dei concetti e delle metodologie dell'Algebra Lineare e della Geometria durante il prosieguo dei suoi studi.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi, applicazioni e numerosi esercizi. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.


Prerequisiti richiesti

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria.



Frequenza lezioni

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d'esame.



Contenuti del corso

Algebra Lineare:

  1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture geometriche: gruppi, anelli, campi.

  2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.

  3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.

  4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.

  5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.

  6. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.

  7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.

  8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

 

 

Geometria:

9. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.

10. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani.

11. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche e loro uso per determinare coniche particolari.

12. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.



Testi di riferimento

1. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.

2. Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.

3. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.

4. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.


Altro materiale didattico

http://www.dmi.unict.it/~zappalag/DidatticaWeb/Didattica.htm



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Prodotto cartesiano. Relazioni. Funzioni. Immagine e controimmagine. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Restrizioni ed estensioni. Composizione di funzioni.1 - Pagine 1-17 
2Proprietà della composizione. Funzioni invertibili. Relazioni di equivalenza. Partizioni. Classi di equivalenza. Insieme quoziente.1 - Pagine 14-17 
3Strutture algebriche. Semigruppi. Elemento neutro. Monoidi. Elementi invertibili in un monoide. Gruppi. Gruppi abeliani. Esempi di gruppi. Gruppi di permutazioni. Operazioni con le classi di resto.1 - Pagine 17-26 
4Anelli. Anelli con unità. Anello dei numeri interi. Anello delle classi di resto. Divisori dello zero. Corpi. Campi. Anelli commutativi con unità. Domini di integrità. Anello dei polinomi. Anelli delle classi di resto. Grado di un polinomio.1 - Pagine 36-51 
5Equazioni algebriche. Algoritmo di divisione. Teorema di Ruffini. Regola di Ruffini. Molteplicità delle radici.1 - Pagine 36-51 
6Matrici. Somma tra matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Matrici triangolari, diagonali. Anello delle matrici quadrate. Matrice identica. Campo delle metrici scalari. Matrici trasposte. Traccia.1 - Pagine 51-59 
7Classe di una permutazione. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà dei determinanti. Multilinearità ed alternanza.1 - Pagine 141-153 
8Teorema di Binet. Cofattori. Teoremi di Laplace. Calcolo di determinanti. Matrice dei cofattori. Matrice aggiunta. Formula della matrice inversa.1 - Pagine 153-158 
9Sistemi lineari. Sistemi di Cramer. Regola di Cramer.1 - Pagine 167-171 
10Polinomi riducibili. Campi algebricamente chiusi. Campo dei numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria. Coniugato. Modulo. Formula di De Moivre.1 - Pagine 26-35 
11Teorema fondamentale dell'algebra. Formula di Eulero. Identità di Eulero. Fattorizzazione di polinomi sul campo reale e complesso. Riducibilità sul campo dei numeri reali. Radici n-esime di un numero complesso.1 - Pagine 36-50 
12Definizione di spazio vettoriale. Legge di annullamento del prodotto. Sottospazi. Esempi di sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta.1 - Pagine 87-103 
13Generatori. Vettori linearmente dipendenti. Criterio di indipendenza lineare. Basi. Metodo degli scarti successivi. Estensione ad una base.1 - Pagine 103-113 
14Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Calcolo di dimensioni. Dimensione di sottospazi. Componenti.1 - Pagine 113-119 
15Sottomatrici. Minori. Rango di una matrice. Matrici ridotte. Metodo di riduzione. Teorema di Kronecker. Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di un sistema lineare.1 - Pagine 141-153 
16Sottomatrici. Minori. Rango di una matrice. Matrici ridotte. Metodo di riduzione. Teorema di Kronecker. Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di un sistema lineare.1 - Pagine 158-182 
17Teorema degli orlati. Sistemi lineari omogenei. Sistemi omogenei di n equazioni in n+1 incognite.1 - Pagine 182-187 
18Applicazioni lineari. Immagine e controimmagine di sottospazi. Nucleo e iniettività. Dimensione dell'immagine di un sottospazio. Teorema sulle dimensioni del nucleo e dell'immagine. Isomorfismi ed endomorfismi. Spazi vettoriali isomorfi.1 - Pagine 201-219 
19Composizione di applicazioni lineari. Isomorfismi. Prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Formula di Grassmann. Composizione di applicazioni lineari. Matrici associate alle applicazioni lineari.1 - Pagine 219-235 
20Rango della matrice associata. Matrici del cambio di base. Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione. Matrici simili.1 - Pagine 235-239 
21Endomorfismi diagonalizzabili. Autovalori ed autovettori. Polinomio caratteristico. Coefficienti del polinomio caratteristico.1 - Pagine 263-265; 271-279 
22Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Somma diretta di sottospazi. Indipendenza degli autospazi. Endomorfismi diagonalizzabili e loro caratterizzazione.1 - Pagine 279-293 
23Spazi affini. Vettori geometrici. Angolo tra due vettori. Spazi proiettivi. Punti impropri. Omogeneizzazione di polinomi.2 - Pagine 1-21 
24Curve algebriche. Rette nel piano proiettivo. Retta per due punti. Superfici algebriche. Piani e rette nello spazio proiettivo. Rette complanari, incidenti e sghembe.2 - Pagine 31-45; 51-62 
25Fasci di piani. Equazione della retta in forma vettoriale e parametrica. Distanze. Punto medio e asse di un segmento. Luoghi geometrici. Bisettrici. Circonferenze. Sfere. Simmetrie.2 - Pagine 62-72 
26Cambiamenti del sistema di riferimento. Trasformazioni ortogonali. Matrice associata ad una conica. Coniche spezzate. Punti singolari.2 - Pagine 73-79 
27Punti impropri di una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Equazioni ridotte. Trasformazione di una conica in forma ridotta.2 - Pagine 79-81 
28Invarianti ortogonali. Rette tangenti ad una conica. Polarità. Teorema di reciprocità. Equazioni canoniche. Ellisse reale ed ellisse immaginaria. Iperbole. Parabola. Assi e centro di simmetria. Fuochi e direttrici.2 - Pagine 81-87 
29Centro di una conica. Circonferenze. Punti ciclici. Iperboli equilatere. Fasci di coniche. Luogo base. Coniche spezzate di un fascio. Coniche bitangenti. Coniche per 5 punti.2 - Pagine 87-113   
30Quadriche. Matrice associata. Vertici. Quadriche riducibili. Coni e cilindri. Classificazione dei cilindri. Conica all'infinito.2 - Pagine 115-123 
31Classificazione delle quadriche non degeneri. Iperboloidi, paraboloidi ed ellissoidi. Rette e piani tangenti. Natura dei punti di una quadrica. Forme canoniche.2 - Pagine 124-133 
32Sfere. Cerchio assoluto. Punti ciclici. Circonferenze nello spazio.2 - Pagine 140-142 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

PROVA D'ESAME

La prova d'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Alla prova orale si accede dopo aver superato la prova scritta. La prova scritta si supera con un punteggio minimo di 12/30.

PROVE IN ITINERE

Durante lo svolgimento delle lezioni sono previste due prove in itinere, entrambe della durata di due ore, riservate esclusivamente agli studenti del primo anno che abbiano conseguito una frequenza alle lezioni di almeno il 70%.

La prima prova in itinere consiste nel risolvere esercizi di Algebra Lineare. La seconda prova in itinere consiste nel risolvere esercizi di Geometria.

Ad ognuna delle due prove si può raggiungere un punteggio massimo di 15/30. Se la somma del punteggio delle due prove è maggiore o uguale a 12/30 lo studente è ammesso a sostenere la prova orale, che si svolgerà durante la sessione ordinaria d'esame.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Esercizi di Algebra Lineare

 

  1. Studio di un'applicazione lineare, al variare di parametri, determinando nucleo ed immagine.

  2. Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo, al variare di parametri e calcolo di autovettori ed autospazi.

  3. Calcolo di controimmagini di sottospazi.

  4. Risoluzioni di sistemi lineari, anche al variare di parametri.

  5. Esercizi su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari indotte, restrizioni ed esetensioni.

 

Esercizi di Geometria

  1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.

  2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato o da ricavare. Studio completo di una conica.

  3. Classificazione di quadriche, al variare di parametri. Studio di coniche definite dalla sezione piana di una quadrica.




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