LINEAR ALGEBRA AND GEOMETRY

Si intende innanzitutto introdurre lo studente al linguaggio e al rigore necessari per lo studio dei concetti
essenziali inerenti l'Algebra Lineare e la Geometria analitica: fra questi, teoria degli spazi vettoriali,
calcolo matriciale, risoluzione di sistemi lineari, applicazioni lineari, calcolo di autovettori e autovalori,
diagonalizzazione di matrici, rette e piani nello spazio, coniche nel piano e quadriche nello spazio.
Si richiede che lo studente sia in grado di applicare tali concetti e metodi alla risoluzione di problemi
concreti di algebra lineare e di geometria analitica che riguardano lo studio dei più semplici oggetti
geometrici nel piano e nello spazio.
Lo studente affronterà vari aspetti teorici degli argomenti affrontati, affinando le capacità logiche allo
scopo di utilizzare con rigore alcuni significativi metodi dimostrativi. Tali dimostrazioni saranno
presentate in modo tale da cogliere ogni singolo e minimo passaggio necessario al raggiungimento
dell'obiettivo.
Studiando l'Algebra Lineare e la Geometria e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni, lo studente
apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un
linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico,
non solo in ambito matematico.
Gli studenti saranno in grado di utilizzare le nozioni, i concetti e le metodologie acquisite nell'ambito degli
studi successivi e verranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti.

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi
significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente
esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria. Regola di Ruffini

Algebra Lineare:
1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine,
iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture
geometriche: gruppi, anelli, campi.
2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto
scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante
componenti.
3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri
complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi.
Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli
scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio
vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi
lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di
Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle
soluzioni.
6. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata.
Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.
7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività,
suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni
lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli
autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.
Geometria:
1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni.
Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro
equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani.
Distanze. Fasci di piani.
3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti
ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle
coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di
coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni
e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione
delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.

1. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
2. G.Paxia: Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.
3. .P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
4. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.

http://studium.unict.it/

Argomenti Riferimenti testi
1 Introduzione alla teoria degli insiemi. Introduzione ai campi e
spazi vettoriali. Determinante di una matrice. Calcolo del rango e
riduzione di una matrice. Risoluzione dei sistemi lineari. Tempo
richiesto: 9 ore
Libro di teoria: capitoli 1,3
Libro di esercizi: capitolo 1
2 Operazioni con le matrici. Tempo richiesto: 2 ore Libro di teoria: capitolo 3 Libro
di esercizi: capitolo 1
3 Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e
componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio
vettoriale. Tempo richiesto: 9 ore
Libro di teoria: capitolo 2 Libro
di esercizi: capitolo 2
4 Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base
da un sistema di generatori e completamento a base di un
insieme libero. Tempo richiesto: 2 ore
Libro di teoria: capitolo 2 Libro
di esercizi: capitolo 2
5 Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione
lineare. Calcolo di immagini e controimmagini. Tempo richiesto:
10 ore
Libro di teoria: capitolo 4 Libro
di esercizi: capitoli 3,4
6 Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con
applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore
Libro di teoria: capitolo 4 Libro
di esercizi: capitolo ,5
7 Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico.
Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
Endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice. Tempo
richiesto: 9 ore
Libro di teoria: capitolo 5 Libro
di esercizi: capitolo 6
8 Applicazioni sotto condizione. Restrizioni ed estensioni di
applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore.
Libro di teoria: capitolo 5 Libro
di esercizi: capitoli 7,8
9 Generalità sul calcolo vettoriale. Coordinate cartesiane e
coordinate omogenee. Assegnazione di una retta e di un piano e
loro equazioni. Punti impropri. Intersezioni. Parallelismo e
ortogonalità. Fasci di rette e piani. Distanze. Tempo richiesto: 10
ore
Libro di teoria: capitoli 1, 2, 3
Libro di esercizi: capitolo 1
10 Angoli. Proiezioni ortogonali. Rette bisettrici e piani bisettori.
Simmetrie. Luoghi di rette. 3 ore
Libro di teoria: capitoli 1, 2, 3
Libro di esercizi: capitolo 1
11 Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano,
invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica.
Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci
di coniche. Tempo richiesto: 8 ore
Libro di teoria: capitolo 4 Libro
di esercizi: capitolo 2
12 Studio completo delle coniche. Coniche sotto condizione. Tempo
richiesto: 4 ore.
Libro di teoria: capitolo 4 Libro
di esercizi: capitolo 2
13 Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di
una quadrica e quadriche degeneri. Conica all’infinito. Coni e
cilindri. Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle
quadriche non degeneri. Tempo richiesto: 7 ore.
Libro di teoria: capitolo 5 Libro
di esercizi: capitolo 3
14 Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere. Tempo
richiesto: 2 ore.
Libro di teoria: capitolo 5 Libro
di esercizi: capitolo 3

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO
La prova d'esame è composta da una prova scritta della durata di 3 ore e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo
aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30).

Esercizi di Algebra Lineare
1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della semplicità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando
possibile, una base di autovettori.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del
parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.
4. Esercizi su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte,
restrizioni ed estensioni.
Esercizi di Geometria
1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni
ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una
conica. Coniche sotto condizione.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica
intersezione di una quadrica con un piano.