GEOMETRIA I

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Per gli studenti con obblighi formativi aggiuntivi sono previsti dei corsi di recupero.

Propedeuticità: nessuna

Frequenza: fortemente consigliata

ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):

1. Operazioni su un insieme. Strutture algebriche: gruppi, anelli, corpi, campi. Anello degli interi relativi. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo.
2. Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche
3. Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi: Kⁿ, K^m,n, K[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz (no dim.). Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann (no dim). Dimensione di una somma diretta.
4. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace (no dim). Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim). Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
5. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili.
6. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.

GEOMETRIA ANALITICA (II semestre, parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)

1. I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti.
2. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci di piani. Distanze.
3. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Tangenti. Polarità. Fasci di coniche.
4. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Rette tangenti e piano tangente. Polarità. Punti parabolici, iperbolici ed ellittici. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sistemi di rette su una quadrica.

1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte di Algebra Lineare).

2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (per la parte di geometria). Il presente libro, su volere dell'autore, è scaricabile dal sito internet del prof. G. Paxia www.giuseppepaxia.com

su http://studium.unict.it con avvisi oppure sulla pagina web del docente www.dmi.unict.it/~guardo

esame finale: Nel caso in cui lo studente decida di sostenere l'esame finale o non supera una delle due prove in itinere, gli esami consistono in una prova scritta ed una orale alla fine del corso annuale. Per il superamento della prova scritta, lo studente dovrà svolgere almeno due quesiti di Algebra Lineare ed uno di Geometria (o viceversa). Sono sconsigliati dal presentarsi alla prova orale i candidati che riportano una votazione inferiore a 12/30 nella prova scritta.

Sono previste due prove in itinere. Entrambe le prove consistono in una prova scritta e si intendono superate con una votazione non inferiore ai 12/30. Ciascuna ha un valore pari a circa 1/3 dei CFU totali della materia (ovvero circa 4 crediti ciascuna). Essi verranno acquisiti solo e soltanto dopo aver superato entrambe le prove in itinere ed una prova orale.

La prima prova in itinere si svolgerà durante il primo periodo di pausa delle lezioni. Generalmente, le date coincidono con quelle degli appelli previsti nella sessione febbraio/marzo secondo il calendario delle prove scritte. Essa verterà su circa metà del programma.

La seconda prova in itinere si svolgerà alla fine del corso e, comunque, entro e non oltre la sessione autunnale, ovvero il candidato potrà svolgere la seconda prova in itinere dalla fine del corso alla sessione autunnale nelle date delle prove scritte secondo il calendario. Essa verterà sulla seconda parte del programma (complementare alla prima parte).

Le prove in itinere (superate entrambe con un voto non inferiore ai 12/30) hanno durata fino alla scadenza della sessione autunnale, ovvero l’esame orale deve essere sostenuto entro e non oltre le date d’esame previste dalla fine del corso fino alla sessione autunnale.

Il voto minimo è di 18/30 per la prova orale. Per il voto finale vedere c).

N.B.:Lo studente acquisirà i CFU totali solo dopo aver superato entrambe le prove in itinere e la prova orale.

c) criteri per l’attribuzione del voto: sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti. Si terrà in ogni caso conto, soprattutto nei primi appelli, del fatto che lo studente frequenta ancora il primo anno e difficilmente avrà acquisito la maturità che potrà essere invece richiesta negli anni successivi. Non è prevista la media tra il voto dello scritto e dell'orale

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Esercizi assegnati ed esercizi svolti su http://www.dmi.unict.it/~guardo

Domande frequenti esercizi/esami

1) Definizione di spazio vettoriale. Teorema sulle dimensioni di Nucleo ed Immagine di un’applicazione lineare. Teorema di Cramer e Rouchè-Capelli. Criterio di indipendenza lineare. Criterio di indipendenza degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, endomorfismi semplici. Controimmagine di un vettore.

2) Rette e piani nello spazio. Classificazione coniche. Rette tangenti. Classificazione quadriche. Piani tangenti. Vertici. Coni e cilindri. Sezioni piani di quadriche