ANALISI MATEMATICA I J - Pr

MAT/05 - 9 CFU - Insegnamento annuale

Docente titolare dell'insegnamento

SUNRA JOHANNES NIKOLAJ MOSCONI
Email: mosconi@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica
Telefono: 0957383000
Orario ricevimento: Martedi' 14-16.


Obiettivi formativi

Competenze: saper calcolare i limiti di funzioni e di successioni numeriche, le derivate delle funzioni di una variabile reale, determinare il carattere di una serie numerica, calcolare integrali definiti e indefiniti.

Conoscenze: definizioni e teoremi fondamentali riguardanti il Calcolo Differenziale, le Serie numeriche ed il Calcolo Integrale.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Il corso è diviso in due parti. Nella prima parte si studia la costruzione dei numeri reali, le nozioni basilari di topologia, le funzioni di una variabile reale, le successioni numeriche. Nella seconda parte si studiano le serie numeriche e gli integrali delle funzioni di una variabile reale.


Prerequisiti richiesti

Buone conoscenze di base di aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.



Frequenza lezioni

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza non è richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di esame.



Contenuti del corso

  1. SISTEMI NUMERICI. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo superiore e estremo inferiore. Proprietà ell'estremo superiore. Campi e Campi ordinati*. Il Campo dei numeri reali. Proprietà di Archimede. Densità. Radice n-esima. Potenza ad esponente razionale e reale. Logaritmo di un numero reale positivo. Il sistema esteso dei numeri reali. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Radici nel campo complesso.
  2. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Cenni di topologia. Teorema di Bolzano Weierstrass*. Funzioni reali di una variabile reale. Operazioni tra funzioni. Funzione inversa e funzione composta. Estremi assoluti e relativi di una funzione. Limiti delle funzioni reali. Unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Teorema di confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti delle funzioni monotone. Infinitesimi e infiniti*. Asintoti. Successioni numeriche. Limiti di successioni. Caratterizzazione della nozione di limite di una funzione in termini di limiti di successioni*. Il numero di Nepero*. Limiti notevoli. Applicazione al calcolo di limiti. Successioni estratte*. Massimo e minimo limite di una successione*. Successioni di Cauchy*. Criterio di Cauchy per la convergenza di una successione*.
  3. FUNZIONI CONTINUE. Definizione di continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Caratterizzazione della continuità mediante le successioni*. Singolarità di una funzione*. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux sui valori intermedi*. Uniforme continuità*. Teorema di Cantor*. Altre condizioni sufficienti per l'uniforme continuità*.
  4. CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivabilità e di derivata: suo significato geometrico. Punti angolosi e cuspidi. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Differenziale*. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per le funzioni derivabili. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Derivate di ordine superiore. Teoremi di de L'Hopital*. La formula di Taylor*. Funzioni convesse in un intervallo*. Studio qualitativo del grafico di una funzione. Successioni ricorsive*.
  5. SERIE NUMERICHE. Carattere di una serie. Serie resto*. Operazioni con le serie. Serie armonica, di Mengoli* e geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy*. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Criterio di Raabe*. Criterio di condensazione di Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Teorema di Leibniz. Proprietà associativa e commutativa*. Serie prodotto secondo Cauchy*. Teorema di Mertens*.
  6. INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN. Integrabilità ed integrale secondo Riemann. Definizioni, proprietà e significato geometrico. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate*. Esempio di funzione non integrabile*. Proprietà degli integrali. Integrabilità del valore assoluto di una funzione integrabile*. Teorema del valore medio. Primitive. Funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema di Torricelli. Integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per razionalizzazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti*. Integrali impropri*. Criteri di sommabilità e di assoluta sommabilità*. Integrali impropri e serie*.

    N.B.: Gli argomenti contrassegnati con * non sono conoscenze minime.



Testi di riferimento

  1. Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale.
  2. Di Fazio G., Zamboni P., Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica 1, EdiSES.
  3. D'Apice C., Manzo R. Verso l'esame di Matematica, vol. 1 e 2, Maggioli editore.

Altro materiale didattico

Del materiale didattico si può trovare sul sito http://studium.unict.it/dokeos/2016/



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1SISTEMI NUMERICI Testo 1 Cap. 1 e 2, Testo 2 cap. 2, Testo 3 cap. 1,. 
2LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALETesto 1 cap. 3 e 5, Testo 2 cap. 3, Testo 3 cap. 2. 
3FUNZIONI CONTINUETesto 1 cap. 5, Testo 2 cap. 4. 
4CALCOLO DIFFERENZIALETesto 1 cap. 6 e 7, Testo 2 cap. 5, Testo 3 cap. 3. 
5SERIE NUMERICHETesto 1 cap. 4, Testo 2 cap. 6, Testo 3 cap. 4. 
6INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANNTesto 1 cap. 8 e 9, Testo 2 cap. 7, Testo 3 cap. 5. 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Sono previste due prove in itinere (durata 2 ore e trenta minuti ciascuna). La prima si terrà durante la prima pausa didattica, la seconda alla fine del corso. E' ammesso alla seconda chi abbia superato la prima. Qualora la seconda prova non fosse superata, lo studente potrà scegliere di ritentarla una sola volta durante la sessione estiva, al posto dello scritto finale.

La prima prova riguarda le UDE 1,2,3,4. La prova è divisa nelle parti A, B e C. La parte A consiste in cinque brevi esercizi di natura qualsiasi inerenti le quattro UDE. Nella parte B si richiedono il calcolo di un limite, una definizione, la dimostrazione di un teorema, e lo studio di una funzione. La parte C consiste di tre problemi di natura qualsiasi inerenti le quattro UDE. Per il superamento della prova è richiesto il conseguimento della sufficienza nella parte A, il corretto svolgimento della parte teorica e di un esercizio della parte B.

La seconda prova riguarda le UDE 5, 6. La prova è divisa nelle parti A, B e C. Nella parte A sono assegnati lo studio del carattere di due serie, una definizione e la dimostrazione di un teorema. Nella parte B sono assegnati il calcolo di due integrali, una definizione e la dimostrazione di un teorema.
La parte C consiste in tre quesiti di natura qualsiasi inerenti le due UDE. Per il superamento della prova è richiesto dare correttamente entrambe le definizioni, dimostrare correttamente un teorema e svolgere due esercizi di argomento diverso.

Il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove. L'orale è facoltativo.

In alternativa, o non avendo superato le prove in itinere, si sosteniene una unica prova d'esame composta da una prova scritta e una successiva prova orale. La prova scritta è divisa nelle parti A, B e C. La parte A consiste in cinque brevi esercizi di natura qualsiasi inerenti le sei UDE. Nella parte B sono assegnati uno studio di funzione, un integrale e due serie. La parte C consiste di tre problemi vari. Per il superamento dello scritto è necessario il conseguimento della sufficienza nella parte A e di un punteggio complessivo di almeno 18. La prova orale verifica le conoscenze teoriche insegnate a lezione.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Esempi di domande: Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità funzioni continue e delle funzioni monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.

 

Esempi di esercizi: limiti di successioni e di funzioni, studio dell'andamento di una funzione, determinazione del carattere di una serie, calcolo di integrali definiti e indefiniti.




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